기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

150 mm 풀리가 720 rpm으로 돌며 미끄러짐 2.5 %인 벨트로 250 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 720 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 250 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 24개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 32개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 1620 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 N_D은(는) 몇 개여야 하는가?

n_in = 3000 rpmA = 24B = 32C = 18n_out = 1620 rpm

N_D =

3.축의 비틀림보통

길이 2.5 m인 속이 찬 황동 축이 토크 200 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 3°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 200 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 1 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 3 mb = 1 m

T_A = N·m

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 60 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 500 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 0.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 40°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 6 mmp = 0.5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 20 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 35 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 13.3 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 25 mmx₂ = 13.3 mmn = 2

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 80 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 421.2 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

720·150/250 = 432 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 432·0.975 = 421.2 rpm

답

n₂ = 421.2 rpm

2.기어와 기어열

답: N_D = 25

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

중간축 속도

n_B = n_C = 3000·24/32 = 2250 rpm

기어 D의 잇수

N_D = C·n_C/n_out = 18·2250/1620 = 25

답

N_D = 25

3.축의 비틀림

답: d = 39.74 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0.05236 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·2500/(39000·0.05236) = 244854 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 39.74 mm

답

d = 39.74 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: T_A = 62.5 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1/4 = 62.5 N·m

T_B = 250·3/4 = 187.5 N·m

답

T_A = 62.5 N·m

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 80 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 100 MPa, R = √(0² + 60²) = 60 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = 40 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120, 160, 40)/2 = 80 MPa

답

τ_abs = 80 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 16.53 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 0.5·250/6 = 20.83 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10.42 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 10.42·sin²40° + 20.83·cos²40° = 16.53 MPa

답

σ_n = 16.53 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.5093 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 40.74/200000 = 0.0002037 = 203.7 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0002037·2500 mm = 0.5093 mm

답

δ = 0.5093 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 309.5 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 27.85 MPa

σ₂ = 309.5 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 309.5 MPa

답

σ_max = 309.5 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 195.3 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195.3 kN

답

P_cr = 195.3 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 4.318 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

답

σ_cr = 4.318 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.05016

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(25/13.3) = 0.3156

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3156/√(39.48 + 0.09958) = 0.05016

답

ζ = 0.05016

12.기계 진동

답: f_n = 6.752 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 80 = 90 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(90000/50) = 42.43 rad/s

f_n = 42.43/(2π) = 6.752 Hz

답

f_n = 6.752 Hz

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