기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
줄 수 4인 웜이 1450 rpm으로 돌며 잇수 30개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 nw을(를) 구하시오.
z = 4Nw = 30n = 1450 rpm
nw = rpm
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 25개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 36개)를 구동한다. 기어 C(잇수 16개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 400 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?
nin = 1440 rpmA = 25B = 36C = 16nout = 400 rpm
ND =
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 4.38° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 4.38°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
지름 30 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1 m 떨어진 B에 토크 2000 N·m이(가), 거기서 0.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
d = 30 mmTB = 2000 N·mTC = 250 N·mAB = 1 mBC = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = −70 MPaσy = 120 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 60 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 25 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 105 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 105 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 50 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 5.1 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 50 mmx3 = 5.1 mmn = 3
ζ =
12.기계 진동어려움
100 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 60 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: nw = 193.3 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 1450·4/30 = 193.3 rpm
답
nw = 193.3 rpm
2.기어와 기어열
답: ND = 40
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
중간축 속도
nB = nC = 1440·25/36 = 1000 rpm
기어 D의 잇수
ND = C·nC/nout = 16·1000/400 = 40
답
ND = 40
3.축의 비틀림
답: G = 79.95 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 4.38·π/180 = 0.07645 rad
전단 탄성 계수
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981.7·0.07645) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
답
G = 79.95 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: φC = 21.39 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 2000 = 2250 N·m
각 구간의 비틀림각
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2.25 × 10⁶·1000/(80000·79522) = 0.3537 rad
φBC = 250000·500/(80000·79522) = 0.01965 rad
끝 C의 비틀림각
φC = 0.3537 + 0.01965 = 0.3733 rad → |φC| = 21.39°
답
φC = 21.39°
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = 33.58 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = 40/103.1 = 0.3881, sin 2θs = −(−95)/103.1 = 0.9216
2θs = atan2(95, 40) = 67.17°
요소에서의 각도
θs = 33.58°
검산: θs − θp = 33.58 − 78.58 = −45°
답
θs = 33.58°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: τθ = −27.32 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −20·0.866 + 20·−0.5 = −27.32 MPa
답
τθ = −27.32 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 4.441 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 25·1000/201.1 = 124.3 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 124.3/70000 = 0.001776 = 1776 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001776·2500 mm = 4.441 mm
답
δ = 4.441 mm
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 5.659 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 20000·589049/1.06 × 10⁶ = 11111 N
응력
σ2 = 11111/1963 = 5.659 MPa (압축)
답
σ2 = 5.659 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 2.412 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·3000 = 6000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN
답
Pcr = 2.412 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 111.5 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 111.5 mm
답
d = 111.5 mm
확인: 세장비 KL/r는 179.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.1202
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/3)·ln(50/5.1) = 0.7609
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7609/√(39.48 + 0.579) = 0.1202
답
ζ = 0.1202
12.기계 진동
답: fn = 4.271 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 12 + 60 = 72 kN/m
고유 진동수
ωn = √(72000/100) = 26.83 rad/s
fn = 26.83/(2π) = 4.271 Hz
답
fn = 4.271 Hz
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