기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 24개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 32개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 32η = 97%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 16개, 각 유성 기어의 잇수는 12개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1200 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 16N_p = 12n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

길이 1 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 2000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 2000 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 300 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 110 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 10 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 4.7 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 10 mmx₄ = 4.7 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 스프링 k₃ = 20 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 10 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 14.92 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100.5 = 14.92 N·m

답

T₁ = 14.92 N·m

2.기어와 기어열

답: n_c = 342.9 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −40/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·16/56 = 342.9 rpm

답

n_c = 342.9 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: d = 73.96 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1000/(26000·0.02618) = 2.938 × 10⁶ mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 73.96 mm

답

d = 73.96 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d = 27.26 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27.26 mm

답

d = 27.26 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 66.35 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −60/88.46 = −0.6783, sin 2θ_s = −(−65)/88.46 = 0.7348

2θ_s = atan2(65, −60) = 132.7°

요소에서의 각도

θ_s = 66.35°

검산: θ_s − θ_p = 66.35 − (−68.65) = 135°

답

θ_s = 66.35°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 80 MPa

변환 식

σ_θ = 50 + −50·0 + −30·−1 = 80 MPa

답

σ_θ = 80 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 8.206 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 547.1/200000 = 0.002735 = 2735 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.002735·3000 mm = 8.206 mm

답

δ = 8.206 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 79.85 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·706.9/400 = 212058 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 100000·212058/375682 = 56446 N

응력

σ₂ = 56446/706.9 = 79.85 MPa (압축)

답

σ₂ = 79.85 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 45.69 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1500² = 45693 N = 45.69 kN

답

P_cr = 45.69 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 17.77 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7.5 = 333.3

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa

답

σ_cr = 17.77 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.03003

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(10/4.7) = 0.1888

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1888/√(39.48 + 0.03563) = 0.03003

답

ζ = 0.03003

12.기계 진동

답: f_n = 3.487 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 20 + 10 = 30 kN/m

k_eq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(12000/25) = 21.91 rad/s

f_n = 21.91/(2π) = 3.487 Hz

답

f_n = 3.487 Hz

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