기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

줄 수 2인 웜이 960 rpm으로 돌며 잇수 40개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 n_w을(를) 구하시오.

z = 2N_w = 40n = 960 rpm

n_w = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 40개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 40개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 15B = 40C = 18D = 40

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 75 mm, 길이 2 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 0.8 m

τ_max = MPa

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2 m, B에서 3 m 떨어진 C에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 60 mmT₀ = 100 N·ma = 2 mb = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 60 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 1500 N·m와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 60 mmM = 1500 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 70 kN구간 1: Ø35 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 95 kNn = 2.5L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 15.6 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 20 mmx₁ = 15.6 mmn = 1

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n_w = 48 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 960·2/40 = 48 rpm

답

n_w = 48 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 489.4 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 2900·15/40 = 1088 rpm = n_C

2단

n_out = 1088·18/40 = 489.4 rpm

답

n_out = 489.4 rpm

전체 기어비 = 5.926 : 1

3.축의 비틀림

답: τ_max = 79.58 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·75³) = 12.07 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79.58 MPa

답

τ_max = 79.58 MPa

4.축의 비틀림

답: φ_C = 0.1386 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·3/5 = 60 N·m

T_B = 100·2/5 = 40 N·m

C의 회전각

구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 T_A를 받습니다.

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 60000·2000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.002418 rad = 0.1386°

답

φ_C = 0.1386°

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 16.14 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·60, 150 − −40) = 32.28°

요소에서의 각도

θ_p = 16.14°

답

θ_p = 16.14°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 85.39 MPa

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·60³) = 70.74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35.37 MPa

모어 원

C = σ/2 = 35.37 MPa

R = √(35.37² + 35.37²) = 50.02 MPa

σ₁ = C + R = 85.39 MPa

σ₂ = C − R = −14.65 MPa

답

σ₁ = 85.39 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 48.6 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1.608 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.25/5.144 × 10⁻⁶ = 48597 N = 48.6 kN

답

P = 48.6 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 222.8 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 72.76 MPa

σ₂ = 222.8 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 222.8 MPa

답

σ_max = 222.8 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 29.48 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1250² = 29477 N = 29.48 kN

답

P_cr = 29.48 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 72.75 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72.75 mm

답

d = 72.75 mm

확인: 세장비 KL/r는 110이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.03951

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(20/15.6) = 0.2485

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951

답

ζ = 0.03951

12.기계 진동

답: k_eq = 72 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 12 = 72 kN/m

답

k_eq = 72 kN/m

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