기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1440 rpmn2​ = ?

160 mm 풀리가 1440 rpm으로 돌며 미끄러짐 2.5 %인 벨트로 400 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.

n1 = 1440 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mms = 2.5 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
A = 20B = 25C = 25D = 40

2900 rpm의 5.5 kW 모터가 기어 A(잇수 20개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 25개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 25개)는 출력축의 기어 D(잇수 40개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWnin = 2900 rpmA = 20B = 25C = 25D = 40ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?5 kW, 1500 rpm

속이 찬 황동 축이 1500 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 20σy​ = −40τxy​ = −60MPa

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 20 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
60°D = 500 mm, t = 6 mm, p = 3 MPap

안지름 500 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 3 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 60°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 60°
|τn| = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm구리1.5 mP = 50 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø25100 GPaØ120/50400 mm

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m40 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 1 md = 20 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 20 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
tx25 mm2주기13.3 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 13.3 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 25 mmx2 = 13.3 mmn = 2
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 12k2​ = 40k3​ = 12m = 100 kg

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 12 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 40 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n2 = 561.6 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1440·160/400 = 576 rpm

미끄러짐이 있을 때

n2 = 576·0.975 = 561.6 rpm

답

n2 = 561.6 rpm
2.기어와 기어열

답: Tout = 33.38 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 2900·(20/25)·(25/40) = 1450 rpm
ωout = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 5500·0.96² = 5069 W
Tout = Pout/ωout = 5069/151.8 = 33.38 N·m

답

Tout = 33.38 N·m
3.축의 비틀림

답: φ = 0.8754 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·613592) = 0.01528 rad
φ = 0.01528·180/π = 0.8754°

답

φ = 0.8754°
4.축의 비틀림

답: d = 26.27 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

강도 기준 지름

T = 31.83 N·m = 31831 N·mm
dτ = ∛(16·31831/(π·75)) = 12.93 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·31831/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 26.27 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(12.93, 26.27) = 26.27 mm

답

d = 26.27 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θs = −76.72 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = −60/67.08 = −0.8944, sin 2θs = −30/67.08 = −0.4472
2θs = atan2(−30, −60) = −153.4°

요소에서의 각도

θs = −76.72°
검산: θs − θp = −76.72 − (−31.72) = −45°

답

θs = −76.72°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: |τn| = 27.06 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 3·250/6 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τn| = (125 − 62.5)·sin 60°·cos 60° = 27.06 MPa

답

|τn| = 27.06 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 5.668 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 50·1000/113.1 = 442.1 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 442.1/117000 = 0.003779 = 3779 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.003779·1500 mm = 5.668 mm

답

δ = 5.668 mm
8.축 응력과 변형률

답: Pmax = 516.4 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (황동)

최대 하중

Pmax = 0.0005·1.033 × 10⁹ = 516399 N = 516.4 kN

답

Pmax = 516.4 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 35.37 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2500 = 2500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2500² = 35373 N = 35.37 kN

답

Pcr = 35.37 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 69.09 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·1000 = 500 mm
KL/r = 500/5 = 100

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

답

σcr = 69.09 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.05016

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(25/13.3) = 0.3156

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3156/√(39.48 + 0.09958) = 0.05016

답

ζ = 0.05016
12.기계 진동

답: fn = 1.572 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 12 + 40 = 52 kN/m
keq = 52·12/(52 + 12) = 9.75 kN/m

고유 진동수

ωn = √(9750/100) = 9.874 rad/s
fn = 9.874/(2π) = 1.572 Hz

답

fn = 1.572 Hz

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