기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 200 mmd2​ = 250 mm960 rpmT1​ = 1500 NT2​ = 450 NP = ?

벨트가 200 mm 구동 풀리 위를 960 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1500 N, 이완측 450 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 200 mmn1 = 960 rpmT1 = 1500 NT2 = 450 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
A = 16B = 32C = 15D = 24

2900 rpm의 2.2 kW 모터가 기어 A(잇수 16개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 32개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 15개)는 출력축의 기어 D(잇수 24개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 2.2 kWnin = 2900 rpmA = 16B = 32C = 15D = 24ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 25 mmL = 0.8 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 30 mmTB​ = 500 N·mTC​ = 1000 N·mABC0.8 m2.5 m

지름 30 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 500 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 30 mmTB = 500 N·mTC = 1000 N·mAB = 0.8 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 150σy​ = −50τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 150 MPaσy = −50 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 160σy​ = −70τxy​ = −10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 160 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaσY = 350 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12300 mm200 mmØ30Ø30δ = 0.5 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
20 kN12300 mm500 mmØ20Ø30σ2​ = ?

강철 구간(지름 20 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 4 m25 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 3 md = 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 4 kN/mζ = 0.35m = 20 kg

강성 4 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk = 4 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 50k2​ = 15m = 100 kg

100 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 15 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk1 = 50 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 10.56 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 10.05 m/s

전력

P = (1500 − 450)·10.05 = 10556 W = 10.56 kW

답

P = 10.56 kW
2.기어와 기어열

답: Tout = 21.81 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 2900·(16/32)·(15/24) = 906.3 rpm
ωout = 2π·906.3/60 = 94.9 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 2200·0.97² = 2070 W
Tout = Pout/ωout = 2070/94.9 = 21.81 N·m

답

Tout = 21.81 N·m
3.축의 비틀림

답: φ = 3.735 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·38350) = 0.06519 rad
φ = 0.06519·180/π = 3.735°

답

φ = 3.735°
4.축의 비틀림

답: τmax = 282.9 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 500 = 1500 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1.5 × 10⁶/(π·30³) = 282.9 MPa

답

τmax = 282.9 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: θp = −8.35 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−30, 150 − −50) = −16.7°

요소에서의 각도

θp = −8.35°

답

θp = −8.35°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.516

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 45 MPa, R = 115.4 MPa
σ1 = 160.4 MPa, σ2 = −70.43 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 230.9 MPa
n = 350/230.9 = 1.516

답

n = 1.516

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 106.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706.9) = 2.572 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/4.694 × 10⁻⁶ = 106513 N = 106.5 kN

답

P = 106.5 kN
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 11.4 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 20000·141372/350811 = 8060 N

응력

σ2 = 8060/706.9 = 11.4 MPa (압축)

답

σ2 = 11.4 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 4.498 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·4000 = 4000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/4000² = 4498 N = 4.498 kN

답

Pcr = 4.498 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 30.71 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

답

σcr = 30.71 MPa
11.기계 진동

답: fd = 2.108 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(4000/20) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.35²) = 2.108 Hz

답

fd = 2.108 Hz
12.기계 진동

답: fn = 4.058 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.

keq = 50 + 15 = 65 kN/m

고유 진동수

ωn = √(65000/100) = 25.5 rad/s
fn = 25.5/(2π) = 4.058 Hz

답

fn = 4.058 Hz

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