기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

80 mm 풀리가 960 rpm으로 돌며 미끄러짐 3 %인 벨트로 300 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 960 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 300 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 15개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 600 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 12N_p = 15n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 5.99° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5.99°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −50 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 20° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = −20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 150 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 150 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 10 kN/m인 스프링에 달린 5 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk = 10 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 100 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 248.3 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

960·80/300 = 256 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 256·0.97 = 248.3 rpm

답

n₂ = 248.3 rpm

2.기어와 기어열

답: n_c = 133.3 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·15 = 42

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −42/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·12/54 = 133.3 rpm

답

n_c = 133.3 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: G = 38.97 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 5.99·π/180 = 0.1045 rad

전단 탄성 계수

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981.7·0.1045) = 38972 MPa

G = 38.97 GPa

답

G = 38.97 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 13.65 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·25/466269 = 13.65 MPa

답

τ_max = 13.65 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 94.15 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 130 MPa, R = √(30² + (−50)²) = 58.31 MPa

σ₁ = 188.3 MPa, σ₂ = 71.69 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(116.6, 188.3, 71.69)/2 = 94.15 MPa

답

τ_abs = 94.15 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = −33.11 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τ_θ = −−20·0.6428 + −60·0.766 = −33.11 MPa

답

τ_θ = −33.11 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 48.04 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706.9) = 4.042 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/1.041 × 10⁻⁵ = 48039 N = 48.04 kN

답

P = 48.04 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 17.65 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·622035/747699 = 49916 N

응력

σ₂ = 49916/2827 = 17.65 MPa (압축)

답

σ₂ = 17.65 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 2.146 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2.146 kN

답

P_cr = 2.146 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 87.46 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 87.46 mm

답

d = 87.46 mm

확인: 세장비 KL/r는 96.04이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 5.694 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(10000/5) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.6²) = 5.694 Hz

답

f_d = 5.694 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 17.07 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 100 = 115 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(115000/10) = 107.2 rad/s

f_n = 107.2/(2π) = 17.07 Hz

답

f_n = 17.07 Hz

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