기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1450 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 15개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 60개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 5.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 15N2 = 60η = 95%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 1450 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 36개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 72개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 1450 rpmA = 15B = 80C = 36D = 72
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
중공축이 토크 2000 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
T = 2000 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
중공축이 750 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 750 rpmdi/do = 0.8τallow = 40 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa이다. 최대 주응력이 120 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 10 MPaσy = 70 MPaσ1 = 120 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 80 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 80 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 15 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 90 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
10 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 140 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 10 kgk = 200 kN/mc = 140 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 20 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 36.22 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/151.8 = 36.22 N·m
답
T1 = 36.22 N·m
2.기어와 기어열
답: nout = 135.9 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 1450·15/80 = 271.9 rpm = nC
2단
nout = 271.9·36/72 = 135.9 rpm
답
nout = 135.9 rpm
전체 기어비 = 10.67 : 1
3.축의 비틀림
답: do = 57.11 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.6836)) = 57.11 mm
di = 0.75·57.11 = 42.83 mm
답
do = 57.11 mm
속이 찬 축이라면 d = 50.31 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
4.축의 비틀림
답: do = 30.17 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·40·0.5904)) = 30.17 mm
di = 0.8·30.17 = 24.14 mm
답
do = 30.17 mm
속이 찬 축이라면 d = 25.31 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 74.16 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (10 + 70)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 120 − 40 = 80 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 30²) = 74.16 MPa
답
τxy = 74.16 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 91.94 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 65 + 15·−0.1736 + 30·0.9848 = 91.94 MPa
답
σθ = 91.94 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 1.451 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 80·1000/706.9 = 113.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 113.2/117000 = 0.0009673 = 967.3 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.0009673·1500 mm = 1.451 mm
답
δ = 1.451 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 47.75 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 30.56 MPa
σ2 = 47.75 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 47.75 MPa
답
σmax = 47.75 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 4.395 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4.395 kN
답
Pcr = 4.395 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 64.6 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 64.6 mm
답
d = 64.6 mm
확인: 세장비 KL/r는 154.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.0495
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·10) = 2828 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 140/2828 = 0.0495
답
ζ = 0.0495
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 4.109 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 20 + 20 = 40 kN/m
keq = 40·80/(40 + 80) = 26.67 kN/m
고유 진동수
ωn = √(26667/40) = 25.82 rad/s
fn = 25.82/(2π) = 4.109 Hz
답
fn = 4.109 Hz
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