기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
두 평행축이 216 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 4 mm, 감속비 3.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N2은(는) 몇 개여야 하는가?
a = 216 mmm = 4 mmi = 3.5
N2 =
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 30개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.
Ns = 30Np = 20ns = 1440 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
길이 3 m인 속이 찬 황동 축이 토크 500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
T = 500 N·mL = 3 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 3000 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 40 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
안지름 400 mm, 벽 두께 10 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 55°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.
D = 400 mmt = 10 mmp = 1.2 MPaα = 55°
|τn| = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 120 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 45 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 120 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 120 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
2 kg 질량이 강성 50 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 380 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 2 kgk = 50 kN/mc = 380 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 60 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: N2 = 84
기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.
총 잇수
N1 + N2 = 2a/m = 2·216/4 = 108
비율로 나누기
N1 = 108/(1 + 3.5) = 24
N2 = 3.5·24 = 84
답
N2 = 84
2.기어와 기어열
답: nc = 432 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·20 = 70
링 고정일 때의 윌리스 식
nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.
(1440 − nc)/(0 − nc) = −70/30
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1440·30/100 = 432 rpm
답
nc = 432 rpm
캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: d = 68.83 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
필요한 극관성 모멘트
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·3000/(39000·0.01745) = 2.204 × 10⁶ mm⁴
지름
d = (32J/π)1/4 = 68.83 mm
답
d = 68.83 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
4.축의 비틀림
답: d = 20.09 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm
답
d = 20.09 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = 16.85 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·10, 40 − 10) = 33.69°
요소에서의 각도
θp = 16.85°
답
θp = 16.85°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: |τn| = 5.638 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.
벽의 응력
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.2·200/10 = 24 MPa
σa = pr/(2t) = 12 MPa
이음매 방향으로 변환
x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.
|τn| = (24 − 12)·sin 55°·cos 55° = 5.638 MPa
답
|τn| = 5.638 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 5305 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 120·1000/113.1 = 1061 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1061/200000 = 0.005305 = 5305 µε
답
ε = 5305 µε
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 397.9 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 397.9 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 397.9 MPa
답
σmax = 397.9 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 15.54 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2000² = 15545 N = 15.54 kN
답
Pcr = 15.54 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 88.71 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 88.71 mm
답
d = 88.71 mm
확인: 세장비 KL/r는 225.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.6008
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·2) = 632.5 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 380/632.5 = 0.6008
답
ζ = 0.6008
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 6.416 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 5 + 60 = 65 kN/m
고유 진동수
ωn = √(65000/40) = 40.31 rad/s
fn = 40.31/(2π) = 6.416 Hz
답
fn = 6.416 Hz
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