기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm의 2.2 kW 모터가 줄 수 2인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 80개이고 구동 장치의 효율은 50%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 2N_w = 80n = 1440 rpmP = 2.2 kWη = 50%

T_w = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1440 rpm의 100 mm 구동 풀리를 500 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1000 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 1500 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0.3T₁ = 1500 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 400 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 400 N·md_i/d_o = 0.6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 25 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2.5 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 25 mmT₀ = 200 N·ma = 2.5 mb = 0.8 m

T_A = N·m

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 1000 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 25°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 30 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 95 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 10 kN/m인 스프링에 달린 12 kg 질량에 감쇠비 0.45을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 12 kgk = 10 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 15 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 60 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T_w = 291.8 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1440·2/80 = 36 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·36/60 = 3.77 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.5·2200/3.77 = 291.8 N·m

답

T_w = 291.8 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 6.337 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.739 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.8217 = 2.274, T₂ = 1500/2.274 = 659.5 N

전력

P = (1500 − 659.5)·7.54 = 6.337 kW

답

P = 6.337 kW

3.축의 비틀림

답: d_o = 33.91 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0.8704)) = 33.91 mm

d_i = 0.6·33.91 = 20.35 mm

답

d_o = 33.91 mm

속이 찬 축이라면 d = 32.38 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: T_A = 48.48 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0.8/3.3 = 48.48 N·m

T_B = 200·2.5/3.3 = 151.5 N·m

답

T_A = 48.48 N·m

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 58.31 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((−80 − 20)/2)² + 30²) = 58.31 MPa

답

τ_max = 58.31 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 227.7 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2.5·500/5 = 250 MPa

σ_a = pr/(2t) = 125 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 125·sin²25° + 250·cos²25° = 227.7 MPa

답

σ_n = 227.7 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 2.125 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201.1 = 248.7 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 248.7/117000 = 0.002125 = 2125 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.002125·1000 mm = 2.125 mm

답

δ = 2.125 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 4.274 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 61.12 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 61.12·1000/70000 = 0.8731 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·1500/117000 = 3.401 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.274 mm

답

δ = 4.274 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 39.69 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2500 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39.69 kN

답

P_cr = 39.69 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 59.17 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59.17 mm

답

d = 59.17 mm

확인: 세장비 KL/r는 169이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 4.103 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(10000/12) = 28.87 rad/s

f_n = 28.87/(2π) = 4.594 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.594·√(1 − 0.45²) = 4.103 Hz

답

f_d = 4.103 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 12 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/60 → k_eq = 15·60/(15 + 60) = 12 kN/m

답

k_eq = 12 kN/m

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