기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
Nw​ = 30z = 4, 1450 rpm

줄 수 4인 웜이 1450 rpm으로 돌며 잇수 30개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 nw을(를) 구하시오.

z = 4Nw = 30n = 1450 rpm
nw = rpm
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 12nr​ = ?Np​ = 15캐리어 고정

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 15개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.

Ns = 12Np = 15ns = 1440 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 20 mmL = 1 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 60 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1.2 mb = 2.5 m

지름 60 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 2.5 m 떨어진 C에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 60 mmT0 = 400 N·ma = 1.2 mb = 2.5 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 80σy​ = 40τxy​ = −60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 110σy​ = −70τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 110 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 30 mm황동1 mP = 70 kN

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 70 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm강철2 mØ 20 mm알루미늄1.5 mP = 35 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 35 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m30 × 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 55 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 55 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
tx12 mm3주기3.9 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 12 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 3.9 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 12 mmx3 = 3.9 mmn = 3
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 20k2​ = 20k3​ = 80m = 5 kg

5 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk1 = 20 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: nw = 193.3 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

nw = n·z/Nw = 1450·4/30 = 193.3 rpm

답

nw = 193.3 rpm
2.기어와 기어열

답: nr = 411.4 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·15 = 42

캐리어 고정일 때의 윌리스 식

nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.

nr = −ns·Ns/Nr = −1440·12/42 = −411.4 rpm
|nr| = 411.4 rpm

답

nr = 411.4 rpm

링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 11.4 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·15708) = 0.1989 rad
φ = 0.1989·180/π = 11.4°

답

φ = 11.4°
4.축의 비틀림

답: TA = 270.3 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·2.5/3.7 = 270.3 N·m
TB = 400·1.2/3.7 = 129.7 N·m

답

TA = 270.3 N·m
5.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 63.25 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((80 − 40)/2)² + −60²) = 63.25 MPa

답

τmax = 63.25 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σθ = −42.32 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 20 + 90·−0.5 + −20·0.866 = −42.32 MPa

답

σθ = −42.32 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.9903 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 70·1000/706.9 = 99.03 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99.03/100000 = 0.0009903 = 990.3 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0009903·1000 mm = 0.9903 mm

답

δ = 0.9903 mm
8.축 응력과 변형률

답: σmax = 111.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 71.3 MPa
σ2 = 111.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 111.4 MPa

답

σmax = 111.4 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 113.3 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1400² = 113299 N = 113.3 kN

답

Pcr = 113.3 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 88.49 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 88.49 mm

답

d = 88.49 mm

확인: 세장비 KL/r는 271.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.05952

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(12/3.9) = 0.3746

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3746/√(39.48 + 0.1404) = 0.05952

답

ζ = 0.05952
12.기계 진동

답: fn = 11.62 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 20 + 20 = 40 kN/m
keq = 40·80/(40 + 80) = 26.67 kN/m

고유 진동수

ωn = √(26667/5) = 73.03 rad/s
fn = 73.03/(2π) = 11.62 Hz

답

fn = 11.62 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design