기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 18개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 25개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 95%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 960 rpm의 80 mm 구동 풀리를 250 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.35이고 긴장측 장력은 800 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1500 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 70 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 150 kN/m인 스프링에 달린 50 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk = 150 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 15 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 60 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 18.11 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/303.7 = 18.11 N·m

답

T₁ = 18.11 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 2.091 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 3 rad

이완측 장력

e^μθ = e^1.05 = 2.857, T₂ = 800/2.857 = 280 N

전력

P = (800 − 280)·4.021 = 2.091 kW

답

P = 2.091 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 4.676 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·251327) = 0.08162 rad

φ = 0.08162·180/π = 4.676°

답

φ = 4.676°

4.축의 비틀림

답: d = 30.01 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30.01 mm

답

d = 30.01 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 3.797 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·10, 90 − −60) = 7.595°

요소에서의 각도

θ_p = 3.797°

답

θ_p = 3.797°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.921

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 95 MPa, R = 61.85 MPa

σ₁ = 156.8 MPa, σ₂ = 33.15 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(156.8² − 156.8·33.15 + 33.15²) = 143.2 MPa

n = 275/143.2 = 1.921

답

n = 1.921

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 7.737 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113.1 = 618.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 618.9/200000 = 0.003095 = 3095 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.003095·2500 mm = 7.737 mm

답

δ = 7.737 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 16.61 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·392699/602139 = 32609 N

응력

σ₂ = 32609/1963 = 16.61 MPa (압축)

답

σ₂ = 16.61 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.922 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4.922 kN

답

P_cr = 4.922 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 8.567 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12.5 = 480

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

답

σ_cr = 8.567 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 8.316 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(150000/50) = 54.77 rad/s

f_n = 54.77/(2π) = 8.717 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 8.717·√(1 − 0.3²) = 8.316 Hz

답

f_d = 8.316 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 3.487 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/60 → k_eq = 15·60/(15 + 60) = 12 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(12000/25) = 21.91 rad/s

f_n = 21.91/(2π) = 3.487 Hz

답

f_n = 3.487 Hz

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