기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
두 평행축이 40.5 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 1.5 mm, 감속비 2 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N2은(는) 몇 개여야 하는가?
a = 40.5 mmm = 1.5 mmi = 2
N2 =
2.기어와 기어열어려움
1440 rpm의 2.2 kW 모터가 기어 A(잇수 24개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 60개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 15개)는 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 2.2 kWnin = 1440 rpmA = 24B = 60C = 15D = 36ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
길이 1.5 m인 속이 찬 강철 축이 토크 1500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
T = 1500 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1450 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 60 MPaσy = −10 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = −40 MPaσy = −60 MPaτxy = 20 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 35 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 35 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 1.2 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 25 mmx4 = 1.2 mmn = 4
ζ =
12.기계 진동어려움
20 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 30 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 20 kgk1 = 5 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: N2 = 36
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
총 잇수
N1 + N2 = 2a/m = 2·40.5/1.5 = 54
비율로 나누기
N1 = 54/(1 + 2) = 18
N2 = 2·18 = 36
답
N2 = 36
2.기어와 기어열
답: Tout = 84.07 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 1440·(24/60)·(15/36) = 240 rpm
ωout = 2π·240/60 = 25.13 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 2200·0.98² = 2113 W
Tout = Pout/ωout = 2113/25.13 = 84.07 N·m
답
Tout = 84.07 N·m
3.축의 비틀림
답: d = 53.52 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
필요한 극관성 모멘트
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1500/(80000·0.03491) = 805722 mm⁴
지름
d = (32J/π)1/4 = 53.52 mm
답
d = 53.52 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
4.축의 비틀림
답: d = 23.26 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·197572/(π·80)) = 23.26 mm
답
d = 23.26 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = −20.59 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = 40/53.15 = 0.7526, sin 2θs = −35/53.15 = −0.6585
2θs = atan2(−35, 40) = −41.19°
요소에서의 각도
θs = −20.59°
검산: θs − θp = −20.59 − 24.41 = −45°
답
θs = −20.59°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: τθ = −2.557 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −10·0.9397 + 20·0.342 = −2.557 MPa
답
τθ = −2.557 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 19.1 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 445.6/70000 = 0.006366 = 6366 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.006366·3000 mm = 19.1 mm
답
δ = 19.1 mm
8.축 응력과 변형률
답: δ = 2.285 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 49.51 MPa
σ2 = 174.1 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 49.51·2000/70000 = 1.415 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174.1·1000/200000 = 0.8704 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.285 mm
답
δ = 2.285 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 19.99 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·6000 = 6000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19.99 kN
답
Pcr = 19.99 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 61.03 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 61.03 mm
답
d = 61.03 mm
확인: 세장비 KL/r는 183.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.1199
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/4)·ln(25/1.2) = 0.7591
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7591/√(39.48 + 0.5763) = 0.1199
답
ζ = 0.1199
12.기계 진동
답: fn = 2.33 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/5 + 1/30 → keq = 5·30/(5 + 30) = 4.286 kN/m
고유 진동수
ωn = √(4286/20) = 14.64 rad/s
fn = 14.64/(2π) = 2.33 Hz
답
fn = 2.33 Hz
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