기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 18개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 60개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 60η = 97%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 720 rpm의 80 mm 구동 풀리를 315 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 800 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 1200 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 315 mmC = 800 mmμ = 0.3T₁ = 1200 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 강철 축이 500 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 60 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 35 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 50 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk = 50 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 30 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 176.9 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100.5 = 54.71 N·m

출력 토크

T₂ = 54.71·60/18·0.97 = 176.9 N·m

답

T₂ = 176.9 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 2.078 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.847 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.854 = 2.349, T₂ = 1200/2.349 = 510.8 N

전력

P = (1200 − 510.8)·3.016 = 2.078 kW

답

P = 2.078 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 14.37 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·38350) = 0.2507 rad

φ = 0.2507·180/π = 14.37°

답

φ = 14.37°

4.축의 비틀림

답: d = 43.9 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

강도 기준 지름

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·60)) = 31.89 mm

강성 기준 지름

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 43.9 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(31.89, 43.9) = 43.9 mm

답

d = 43.9 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −13.28 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 40/44.72 = 0.8944, sin 2θ_s = −20/44.72 = −0.4472

2θ_s = atan2(−20, 40) = −26.57°

요소에서의 각도

θ_s = −13.28°

검산: θ_s − θ_p = −13.28 − 31.72 = −45°

답

θ_s = −13.28°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 173.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 15 MPa, R = 99.62 MPa

σ₁ = 114.6 MPa, σ₂ = −84.62 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(114.6² − 114.6·(−84.62) + (−84.62)²) = 173.2 MPa

답

σ_vM = 173.2 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 11.46 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78.54 = 763.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 763.9/100000 = 0.007639 = 7639 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.007639·1500 mm = 11.46 mm

답

δ = 11.46 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 111.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 49.51 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 111.4 MPa

답

σ_max = 111.4 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 92.12 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2000² = 92116 N = 92.12 kN

답

P_cr = 92.12 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 34.27 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

답

σ_cr = 34.27 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 6.366 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(50000/20) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7.958 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.958·√(1 − 0.6²) = 6.366 Hz

답

f_d = 6.366 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 40 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 30 = 40 kN/m

답

k_eq = 40 kN/m

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