기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 30, m = 3 mm

2900 rpm으로 도는 11 kW 모터가 잇수 30개, 모듈 3 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.

P = 11 kWn = 2900 rpmN1 = 30m = 3 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
A = 48B = 50C = 30D = 48

1440 rpm의 5.5 kW 모터가 기어 A(잇수 48개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 30개)는 출력축의 기어 D(잇수 48개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWnin = 1440 rpmA = 48B = 50C = 30D = 48ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 200 N·m

중공축이 토크 200 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 200 N·mdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 750 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 100σy​ = −20τxy​ = −30MPa

한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 100 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
25°D = 1200 mm, t = 6 mm, p = 1.2 MPap

안지름 1200 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 25°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 1.2 MPaα = 25°
σn = MPa
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm300 mmØ30Ø50δ = 0.3 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동0.5 mØ 20 mm황동2 mP = 45 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 45 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m20 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 55 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 55 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
tx15 mm3주기4.8 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 4.8 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 15 mmx3 = 4.8 mmn = 3
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 15k2​ = 10k3​ = 20m = 100 kg

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 20 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 10 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk1 = 15 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: Ft = 804.9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 11000/303.7 = 36.22 N·m

피치원 지름

d = m·N = 3·30 = 90 mm

접선력

Ft = 2T/d = 2·36.22/0.09 = 804.9 N

답

Ft = 804.9 N
2.기어와 기어열

답: Tout = 58.38 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 1440·(48/50)·(30/48) = 864 rpm
ωout = 2π·864/60 = 90.48 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 5500·0.98² = 5282 W
Tout = Pout/ωout = 5282/90.48 = 58.38 N·m

답

Tout = 58.38 N·m
3.축의 비틀림

답: do = 27.83 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0.5904)) = 27.83 mm
di = 0.8·27.83 = 22.27 mm

답

do = 27.83 mm

속이 찬 축이라면 d = 23.35 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d = 28.97 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28.97 mm

답

d = 28.97 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θs = −58.28 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = −30/67.08 = −0.4472, sin 2θs = −60/67.08 = −0.8944
2θs = atan2(−60, −30) = −116.6°

요소에서의 각도

θs = −58.28°
검산: θs − θp = −58.28 − (−13.28) = −45°

답

θs = −58.28°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σn = 109.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1.2·600/6 = 120 MPa
σa = pr/(2t) = 60 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 60·sin²25° + 120·cos²25° = 109.3 MPa

답

σn = 109.3 MPa
7.축 응력과 변형률

답: P = 51.97 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1.528 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/5.772 × 10⁻⁶ = 51975 N = 51.97 kN

답

P = 51.97 kN
8.축 응력과 변형률

답: δ = 3.323 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 143.2 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 91.67·500/100000 = 0.4584 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 143.2·2000/100000 = 2.865 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.323 mm

답

δ = 3.323 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 9.212 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9.212 kN

답

Pcr = 9.212 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 79.96 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 79.96 mm

답

d = 79.96 mm

확인: 세장비 KL/r는 300.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.06034

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(15/4.8) = 0.3798

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3798/√(39.48 + 0.1443) = 0.06034

답

ζ = 0.06034
12.기계 진동

답: fn = 1.678 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 15 + 10 = 25 kN/m
keq = 25·20/(25 + 20) = 11.11 kN/m

고유 진동수

ωn = √(11111/100) = 10.54 rad/s
fn = 10.54/(2π) = 1.678 Hz

답

fn = 1.678 Hz

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