기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 125 mm 구동 풀리 위를 2880 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1200 N, 이완측 360 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 360 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 100 mm 풀리와 200 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 500 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 200 mmC = 500 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

강철 중공축(바깥지름 40 mm, 안지름 24 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 300 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 35 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 35 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

2 kg 질량이 강성 5 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 40 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 2 kgk = 5 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 40 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 25 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 15.83 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 18.85 m/s

전력

P = (1200 − 360)·18.85 = 15834 W = 15.83 kW

답

P = 15.83 kW

2.기어와 기어열

답: θ = 168.5 °

벨트 각도

asin(0.1) = 5.739°

접촉각

θ = 180 − 2·5.739 = 168.5°

답

θ = 168.5°

3.축의 비틀림

답: φ = 1.964 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(80000·218755) = 0.03428 rad

φ = 0.03428·180/π = 1.964°

답

φ = 1.964°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 20.57 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2.902 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.592 × 10⁶·37.5/2.902 × 10⁶ = 20.57 MPa

답

τ_max = 20.57 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 45 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·40, −10 − −10) = 90°

요소에서의 각도

θ_p = 45°

답

θ_p = 45°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 152.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 110 MPa, R = 60.83 MPa

σ₁ = 170.8 MPa, σ₂ = 49.17 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(170.8² − 170.8·49.17 + 49.17²) = 152.3 MPa

답

σ_vM = 152.3 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.0802 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9.975 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·800/9.975 × 10⁸ = 0.0802 mm

답

δ = 0.0802 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 46.91 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·247400/373064 = 33158 N

응력

σ₂ = 33158/706.9 = 46.91 MPa (압축)

답

σ₂ = 46.91 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 110.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN

답

P_cr = 110.2 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 40.78 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·35000 = 87500 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 40.78 mm

답

d = 40.78 mm

확인: 세장비 KL/r는 171.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.2

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·2) = 200 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 40/200 = 0.2

답

ζ = 0.2

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 3.635 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 50 + 25 = 75 kN/m

k_eq = 75·40/(75 + 40) = 26.09 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(26087/50) = 22.84 rad/s

f_n = 22.84/(2π) = 3.635 Hz

답

f_n = 3.635 Hz

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