기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
벨트가 125 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 600 N, 이완측 240 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
d1 = 125 mmn1 = 1440 rpmT1 = 600 NT2 = 240 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 100 mm 풀리와 450 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1200 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.
d1 = 100 mmd2 = 450 mmC = 1200 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1000 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −50 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 120 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 60 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
25 kg 질량이 강성 20 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 210 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 25 kgk = 20 kN/mc = 210 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 80 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: P = 3.393 kW
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 속도
v = 9.425 m/s
전력
P = (600 − 240)·9.425 = 3393 W = 3.393 kW
답
P = 3.393 kW
2.기어와 기어열
답: θ = 163.2 °
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 각도
asin(0.1458) = 8.386°
접촉각
θ = 180 − 2·8.386 = 163.2°
답
θ = 163.2°
3.축의 비틀림
답: φ = 20.78 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·79522) = 0.3627 rad
φ = 0.3627·180/π = 20.78°
답
φ = 20.78°
4.축의 비틀림
답: d = 36.5 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·716197/(π·75)) = 36.5 mm
답
d = 36.5 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = 76.72 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·20, −50 − 30) = 153.4°
요소에서의 각도
θp = 76.72°
답
θp = 76.72°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −20.98 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 10 + −10·0.5 + −30·0.866 = −20.98 MPa
답
σθ = −20.98 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 15.28 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78.54 = 1528 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1528/200000 = 0.007639 = 7639 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.007639·2000 mm = 15.28 mm
답
δ = 15.28 mm
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 5.93 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 20000·848230/1.012 × 10⁶ = 16766 N
응력
σ2 = 16766/2827 = 5.93 MPa (압축)
답
σ2 = 5.93 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 248.1 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·1000 = 1000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248.1 kN
답
Pcr = 248.1 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 35.27 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 35.27 mm
답
d = 35.27 mm
확인: 세장비 KL/r는 113.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.1485
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 210/1414 = 0.1485
답
ζ = 0.1485
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: keq = 10.43 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/12 + 1/80 → keq = 12·80/(12 + 80) = 10.43 kN/m
답
keq = 10.43 kN/m
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