기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm의 0.75 kW 모터가 줄 수 1인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 45개이고 구동 장치의 효율은 80%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 1N_w = 45n = 1450 rpmP = 0.75 kWη = 80%

T_w = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 125 mm 풀리와 500 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1000 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 125 mmd₂ = 500 mmC = 1000 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

길이 1.5 m인 속이 찬 황동 축이 토크 400 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 3°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 400 N·mL = 1.5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 3 mb = 1.5 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 15 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

10 kg 질량이 강성 150 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 980 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 10 kgk = 150 kN/mc = 980 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 25 kN/m, k₂ = 60 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T_w = 177.8 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1450·1/45 = 32.22 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·32.22/60 = 3.374 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.8·750/3.374 = 177.8 N·m

답

T_w = 177.8 N·m

2.기어와 기어열

답: θ = 158.4 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.1875) = 10.81°

접촉각

θ = 180 − 2·10.81 = 158.4°

답

θ = 158.4°

3.축의 비틀림

답: d = 41.59 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0.05236 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(39000·0.05236) = 293825 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 41.59 mm

답

d = 41.59 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 31.44 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1.5/4.5 = 83.33 N·m

T_B = 250·3/4.5 = 166.7 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·166667/(π·30³) = 31.44 MPa

답

τ_max = 31.44 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 41.23 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((100 − 20)/2)² + −10²) = 41.23 MPa

답

τ_max = 41.23 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 35.4 MPa

변환 식

σ_θ = 70 + −20·0.766 + 30·−0.6428 = 35.4 MPa

답

σ_θ = 35.4 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 41.93 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/7.154 × 10⁻⁶ = 41935 N = 41.93 kN

답

P = 41.93 kN

8.축 응력과 변형률

답: δ = 0.9753 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 21.22 MPa

σ₂ = 47.75 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 21.22·1500/200000 = 0.1592 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47.75·2000/117000 = 0.8162 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.9753 mm

답

δ = 0.9753 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 158.8 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN

답

P_cr = 158.8 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 38.96 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 38.96 mm

답

d = 38.96 mm

확인: 세장비 KL/r는 128.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.4001

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·10) = 2449 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 980/2449 = 0.4001

답

ζ = 0.4001

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 14.45 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 25 + 60 = 85 kN/m

k_eq = 85·80/(85 + 80) = 41.21 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(41212/5) = 90.79 rad/s

f_n = 90.79/(2π) = 14.45 Hz

답

f_n = 14.45 Hz

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