기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
Tw​ = ?z = 3, 1440 rpm

1440 rpm의 0.75 kW 모터가 줄 수 3인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 48개이고 구동 장치의 효율은 80%이다. 휠 축의 출력 토크 Tw을(를) 구하시오.

z = 3Nw = 48n = 1440 rpmP = 0.75 kWη = 80%
Tw = N·m
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 12링 고정Np​ = 20nc​ = ?

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 3000 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.

Ns = 12Np = 20ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
d = 12 mmT = 100 N·m400 mmφ = 14.07°

비틀림 시험에서 지름 12 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 400 mm의 양 끝이 서로 14.07° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 100 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 14.07°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmTB​ = 500 N·mTC​ = 250 N·mABC1.2 m1 m

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.2 m 떨어진 B에 토크 500 N·m이(가), 거기서 1 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 50 mmTB = 500 N·mTC = 250 N·mAB = 1.2 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 10σy​ = 20τxy​ = 30MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 10 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 윗면

지름 40 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 200 N·m와(과) 토크 200 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 200 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12300 mm400 mmØ25Ø30δ = 0.4 mm

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø20110 GPaØ120/50400 mm

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m25 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 10 kNL = 2 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 10 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 25 kN/mc = 180 N·s/mm = 50 kg

50 kg 질량이 강성 25 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 180 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 50 kgk = 25 kN/mc = 180 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 12k2​ = 60k3​ = 40m = 50 kg

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 40 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 60 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: Tw = 63.66 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

nw = n·z/Nw = 1440·3/48 = 90 rpm

출력 토크

ωw = 2π·90/60 = 9.425 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.8·750/9.425 = 63.66 N·m

답

Tw = 63.66 N·m
2.기어와 기어열

답: nc = 562.5 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·20 = 52

링 고정일 때의 윌리스 식

nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(3000 − nc)/(0 − nc) = −52/12
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·12/64 = 562.5 rpm

답

nc = 562.5 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: G = 80.01 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 14.07·π/180 = 0.2456 rad

전단 탄성 계수

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·400/(2036·0.2456) = 80014 MPa
G = 80.01 GPa

답

G = 80.01 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τmax = 10.19 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 500 = −250 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|max = 250 N·m
τmax = 16·250000/(π·50³) = 10.19 MPa

답

τmax = 10.19 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 30.41 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 15 MPa, R = √((−5)² + 30²) = 30.41 MPa
σ1 = 45.41 MPa, σ2 = −15.41 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60.83, 45.41, 15.41)/2 = 30.41 MPa

답

τabs = 30.41 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 38.42 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 15.92 MPa
R = √(15.92² + 15.92²) = 22.51 MPa
σ1 = C + R = 38.42 MPa
σ2 = C − R = −6.592 MPa

답

σ1 = 38.42 MPa
7.축 응력과 변형률

답: P = 35.91 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/1.114 × 10⁻⁵ = 35907 N = 35.91 kN

답

P = 35.91 kN
8.축 응력과 변형률

답: Pmax = 872.7 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·9346 = 1.091 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.0008, 0.0009091) = 0.0008 (강철)

최대 하중

Pmax = 0.0008·1.091 × 10⁹ = 872734 N = 872.7 kN

답

Pmax = 872.7 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 14.57 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/4200² = 14570 N = 14.57 kN

답

Pcr = 14.57 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 34.67 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 34.67 mm

답

d = 34.67 mm

확인: 세장비 KL/r는 161.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.0805

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·50) = 2236 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 180/2236 = 0.0805

답

ζ = 0.0805

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 3.609 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 12 + 60 = 72 kN/m
keq = 72·40/(72 + 40) = 25.71 kN/m

고유 진동수

ωn = √(25714/50) = 22.68 rad/s
fn = 22.68/(2π) = 3.609 Hz

답

fn = 3.609 Hz

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