기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 125 mmd2​ = 315 mm720 rpmT1​ = 400 NT2​ = 160 NP = ?

벨트가 125 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 400 N, 이완측 160 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 125 mmn1 = 720 rpmT1 = 400 NT2 = 160 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
A = 24B = 72C = 30D = 50

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 24개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 72개)를 구동한다. 기어 C(잇수 30개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 50개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 1440 rpmA = 24B = 72C = 30D = 50
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
do​ = 50, di​ = 35 mmT = 2000 N·mL = 1 m

강철 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 35 mm, 길이 1 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmT0​ = 750 N·mACBa = 0.8 mb = 1.2 m

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.8 m, B에서 1.2 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 50 mmT0 = 750 N·ma = 0.8 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −30σy​ = −20τxy​ = −40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
30°D = 400 mm, t = 8 mm, p = 1.5 MPap

안지름 400 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 30°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 8 mmp = 1.5 MPaα = 30°
σn = MPa
7.축 응력과 변형률보통
100 kNØ30120 GPaØ100/70300 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm알루미늄0.5 mØ 20 mm강철1.5 mP = 45 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 45 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m30 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 200 kN/mζ = 0.35m = 20 kg

강성 200 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk = 200 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 80k2​ = 30m = 50 kg

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 30 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 1.131 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 4.712 m/s

전력

P = (400 − 160)·4.712 = 1131 W = 1.131 kW

답

P = 1.131 kW
2.기어와 기어열

답: nout = 288 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 1440·24/72 = 480 rpm = nC

2단

nout = 480·30/50 = 288 rpm

답

nout = 288 rpm

전체 기어비 = 5 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 3.072 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

비틀림각

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·466269) = 0.05362 rad
φ = 0.05362·180/π = 3.072°

답

φ = 3.072°
4.축의 비틀림

답: τmax = 18.33 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1.2/2 = 450 N·m
TB = 750·0.8/2 = 300 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τmax = 16·450000/(π·50³) = 18.33 MPa

답

τmax = 18.33 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 40.31 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((−30 − −20)/2)² + −40²) = 40.31 MPa

답

τmax = 40.31 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σn = 32.81 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.5·200/8 = 37.5 MPa
σa = pr/(2t) = 18.75 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 18.75·sin²30° + 37.5·cos²30° = 32.81 MPa

답

σn = 32.81 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04823 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·4006 = 6.22 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·300/6.22 × 10⁸ = 0.04823 mm

답

δ = 0.04823 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 1.408 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 143.2 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 46.77·500/70000 = 0.3341 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 143.2·1500/200000 = 1.074 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.408 mm

답

δ = 1.408 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 444.1 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1000² = 444132 N = 444.1 kN

답

Pcr = 444.1 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 44.76 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa

답

σcr = 44.76 MPa
11.기계 진동

답: fd = 14.91 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(200000/20) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.35²) = 14.91 Hz

답

fd = 14.91 Hz
12.기계 진동

답: fn = 7.465 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.

keq = 80 + 30 = 110 kN/m

고유 진동수

ωn = √(110000/50) = 46.9 rad/s
fn = 46.9/(2π) = 7.465 Hz

답

fn = 7.465 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design