기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1500 rpm으로 도는 3 kW 모터가 잇수 40개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 60개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 3 kWn1 = 1500 rpmN1 = 40N2 = 60η = 97%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.
Ns = 12Np = 20ns = 1440 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 300 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 300 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 50 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 25 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 70 kN와(과) 토크 400 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 25 mmF = −70 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 250 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 65 kN구간 1: Ø40 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 5.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 25 mmx3 = 5.5 mmn = 3
ζ =
12.기계 진동어려움
20 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 25 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 19.1 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m
답
T1 = 19.1 N·m
2.기어와 기어열
답: nr = 332.3 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·20 = 52
캐리어 고정일 때의 윌리스 식
nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.
nr = −ns·Ns/Nr = −1440·12/52 = −332.3 rpm
|nr| = 332.3 rpm
답
nr = 332.3 rpm
링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: φ = 11.21 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·38350) = 0.1956 rad
φ = 0.1956·180/π = 11.21°
답
φ = 11.21°
4.축의 비틀림
답: τmax = 218.3 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m
극관성 모멘트
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 2.387 × 10⁶·20/218755 = 218.3 MPa
답
τmax = 218.3 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 41.23 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((50 − −30)/2)² + −10²) = 41.23 MPa
답
τmax = 41.23 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 77.3 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −70000/(π·25²/4) = −70000/490.9 = −142.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
모어 원
C = σ/2 = −71.3 MPa
R = √((−71.3)² + 130.4²) = 148.6 MPa
σ1 = C + R = 77.3 MPa
σ2 = C − R = −219.9 MPa
답
σ1 = 77.3 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 0.05463 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N
줄어든 길이
δ = 250000·300/1.373 × 10⁹ = 0.05463 mm
답
δ = 0.05463 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 206.9 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 51.73 MPa
σ2 = 206.9 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 206.9 MPa
답
σmax = 206.9 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 25.27 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2500 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/5000² = 25266 N = 25.27 kN
답
Pcr = 25.27 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 27.76 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266.7
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
답
σcr = 27.76 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.08007
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/3)·ln(25/5.5) = 0.5047
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5047/√(39.48 + 0.2547) = 0.08007
답
ζ = 0.08007
12.기계 진동
답: fn = 5.553 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 10 + 25 = 35 kN/m
keq = 35·80/(35 + 80) = 24.35 kN/m
고유 진동수
ωn = √(24348/20) = 34.89 rad/s
fn = 34.89/(2π) = 5.553 Hz
답
fn = 5.553 Hz
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