기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1500 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 32개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 32N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 45개)가 1450 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 25개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 45개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1450 rpmA = 45B = 48C = 25D = 45

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 알루미늄 축이 300 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = −40 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 75 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

100 kg 질량이 강성 50 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 1340 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 100 kgk = 50 kN/mc = 1340 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 40 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 5 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 7.003 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157.1 = 7.003 N·m

답

T₁ = 7.003 N·m

2.기어와 기어열

답: n_out = 755.2 rpm

1단

n_B = 1450·45/48 = 1359 rpm = n_C

2단

n_out = 1359·25/45 = 755.2 rpm

답

n_out = 755.2 rpm

전체 기어비 = 1.92 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 3.507 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·251327) = 0.06121 rad

φ = 0.06121·180/π = 3.507°

답

φ = 3.507°

4.축의 비틀림

답: d = 61.48 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

강도 기준 지름

T = 318.3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 61.48 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(27.86, 61.48) = 61.48 mm

답

d = 61.48 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 56.57 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 0 MPa, R = √(40² + (−40)²) = 56.57 MPa

σ₁ = 56.57 MPa, σ₂ = −56.57 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(113.1, 56.57, 56.57)/2 = 56.57 MPa

답

τ_abs = 56.57 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −6.172 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = −25 + −5·0.1736 + 20·0.9848 = −6.172 MPa

답

σ_θ = −6.172 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 65.62 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9.26 × 10⁻⁷ mm/N

하중

P = 0.2/3.048 × 10⁻⁶ = 65616 N = 65.62 kN

답

P = 65.62 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 34.45 MPa

강성

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·706.9/400 = 123700 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 80000·123700/406444 = 24348 N

응력

σ₂ = 24348/706.9 = 34.45 MPa (압축)

답

σ₂ = 34.45 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 158.8 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN

답

P_cr = 158.8 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 59.39 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·75000 = 187500 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 59.39 mm

답

d = 59.39 mm

확인: 세장비 KL/r는 101이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.2996

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·100) = 4472 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 1340/4472 = 0.2996

답

ζ = 0.2996

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 1.501 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/5 → k_eq = 40·5/(40 + 5) = 4.444 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(4444/50) = 9.428 rad/s

f_n = 9.428/(2π) = 1.501 Hz

답

f_n = 1.501 Hz

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