기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 20N2​ = 32

1500 rpm으로 도는 11 kW 모터가 잇수 20개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 32개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.

P = 11 kWn1 = 1500 rpmN1 = 20N2 = 32η = 97%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 15링 고정Np​ = 24nc​ = ?

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 15개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 900 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.

Ns = 15Np = 24ns = 900 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 200 N·md = 30 mmL = 1.2 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 75 mm, di​ = 53 mm

속이 빈 축이 1500 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 110σy​ = −80τxy​ = −60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 110 MPaσy = −80 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 150σy​ = −50τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 150 MPaσy = −50 MPaτxy = −20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 10 mm강철0.5 mP = 15 kN

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 15 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm황동2 mØ 12 mm알루미늄1.5 mP = 25 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 25 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m20 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 25 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
tx12 mm1주기9.9 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 12 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 9.9 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 12 mmx1 = 9.9 mmn = 1
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 25k2​ = 50m = 100 kg

100 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 25 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk1 = 25 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T2 = 108.7 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/157.1 = 70.03 N·m

출력 토크

T2 = 70.03·32/20·0.97 = 108.7 N·m

답

T2 = 108.7 N·m
2.기어와 기어열

답: nc = 173.1 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·24 = 63

링 고정일 때의 윌리스 식

nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(900 − nc)/(0 − nc) = −63/15
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 900·15/78 = 173.1 rpm

답

nc = 173.1 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 2.162 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·79522) = 0.03773 rad
φ = 0.03773·180/π = 2.162°

답

φ = 2.162°
4.축의 비틀림

답: τmax = 10.24 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 636620·37.5/2.332 × 10⁶ = 10.24 MPa

답

τmax = 10.24 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: θp = −16.14 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−60, 110 − −80) = −32.28°

요소에서의 각도

θp = −16.14°

답

θp = −16.14°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 12.94 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 50 + 100·−0.1736 + −20·0.9848 = 12.94 MPa

답

σθ = 12.94 MPa
7.축 응력과 변형률

답: ε = 954.9 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 15·1000/78.54 = 191 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 191/200000 = 0.0009549 = 954.9 µε

답

ε = 954.9 µε
8.축 응력과 변형률

답: σmax = 221 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 221 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 221 MPa

답

σmax = 221 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 12.28 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1500² = 12282 N = 12.28 kN

답

Pcr = 12.28 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 53.02 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 53.02 mm

답

d = 53.02 mm

확인: 세장비 KL/r는 264.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.0306

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(12/9.9) = 0.1924

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1924/√(39.48 + 0.03701) = 0.0306

답

ζ = 0.0306
12.기계 진동

답: fn = 2.055 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/25 + 1/50 → keq = 25·50/(25 + 50) = 16.67 kN/m

고유 진동수

ωn = √(16667/100) = 12.91 rad/s
fn = 12.91/(2π) = 2.055 Hz

답

fn = 2.055 Hz

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