기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 20개, 모듈 4 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 4 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 16개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 18개)를 구동한다. 기어 C(잇수 48개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1500 rpmA = 16B = 18C = 48D = 60

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1450 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 120 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 120 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

5 kg 질량이 강성 20 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 90 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 5 kgk = 20 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 5 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 30 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 994.7 N

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 4000/100.5 = 39.79 N·m

피치원 지름

d = m·N = 4·20 = 80 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·39.79/0.08 = 994.7 N

답

F_t = 994.7 N

2.기어와 기어열

답: n_out = 1067 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1500·16/18 = 1333 rpm = n_C

2단

n_out = 1333·48/60 = 1067 rpm

답

n_out = 1067 rpm

전체 기어비 = 1.406 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 2.702 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·79522) = 0.04716 rad

φ = 0.04716·180/π = 2.702°

답

φ = 2.702°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 12.08 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 197572·25/408885 = 12.08 MPa

답

τ_max = 12.08 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 63.42 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = −65 MPa, R = √(15² + (−60)²) = 61.85 MPa

σ₁ = −3.153 MPa, σ₂ = −126.8 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(123.7, 3.153, 126.8)/2 = 63.42 MPa

답

τ_abs = 63.42 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 45 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = 15 + −95·0 + −30·−1 = 45 MPa

답

σ_θ = 45 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05155 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·4006 = 5.82 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·600/5.82 × 10⁸ = 0.05155 mm

답

δ = 0.05155 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 859.5 kN

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·8482 = 1.074 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.0008, 0.0009091) = 0.0008 (강철)

최대 하중

P_max = 0.0008·1.074 × 10⁹ = 859540 N = 859.5 kN

답

P_max = 859.5 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 35.98 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1000² = 35983 N = 35.98 kN

답

P_cr = 35.98 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 83.89 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83.89 mm

답

d = 83.89 mm

확인: 세장비 KL/r는 190.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.1423

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·5) = 632.5 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 90/632.5 = 0.1423

답

ζ = 0.1423

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 1.061 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 10 + 30 = 40 kN/m

k_eq = 40·5/(40 + 5) = 4.444 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(4444/100) = 6.667 rad/s

f_n = 6.667/(2π) = 1.061 Hz

답

f_n = 1.061 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design