기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 160 mm 구동 풀리 위를 1500 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1200 N, 이완측 480 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 480 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 30개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 3000 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 30N_p = 20n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1500 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø40 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

25 kg 질량이 강성 12 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 160 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 25 kgk = 12 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 스프링 k₃ = 12 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 15 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 9.048 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 12.57 m/s

전력

P = (1200 − 480)·12.57 = 9048 W = 9.048 kW

답

P = 9.048 kW

2.기어와 기어열

답: n_c = 900 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·20 = 70

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −70/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·30/100 = 900 rpm

답

n_c = 900 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 13.68 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·15708) = 0.2387 rad

φ = 0.2387·180/π = 13.68°

답

φ = 13.68°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 27.67 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/575243 = 27.67 MPa

답

τ_max = 27.67 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 42.72 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((80 − 50)/2)² + 40²) = 42.72 MPa

답

τ_max = 42.72 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 88.88 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −70 MPa, R = 31.62 MPa

σ₁ = −38.38 MPa, σ₂ = −101.6 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √((−38.38)² − (−38.38)·(−101.6) + (−101.6)²) = 88.88 MPa

답

σ_vM = 88.88 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.09182 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·2199 = 3.267 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·600/3.267 × 10⁸ = 0.09182 mm

답

δ = 0.09182 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 4.389 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 75.6 MPa

σ₂ = 840 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75.6·500/200000 = 0.189 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1000/200000 = 4.2 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.389 mm

답

δ = 4.389 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 38.59 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38.59 kN

답

P_cr = 38.59 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 7.676 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa

답

σ_cr = 7.676 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.1461

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·25) = 1095 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 160/1095 = 0.1461

답

ζ = 0.1461

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 4.899 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 30 + 15 = 45 kN/m

k_eq = 45·12/(45 + 12) = 9.474 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(9474/10) = 30.78 rad/s

f_n = 30.78/(2π) = 4.899 Hz

답

f_n = 4.899 Hz

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