기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 300 mm1450 rpmT1​ = 1000 NT2​ = 200 NP = ?

벨트가 160 mm 구동 풀리 위를 1450 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1000 N, 이완측 200 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 160 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1000 NT2 = 200 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
A = 16B = 32C = 16D = 18

1450 rpm의 2.2 kW 모터가 기어 A(잇수 16개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 32개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 16개)는 출력축의 기어 D(잇수 18개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 2.2 kWnin = 1450 rpmA = 16B = 32C = 16D = 18ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
d = 20 mmT = 100 N·m300 mmφ = 1.37°

비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 1.37° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 1.37°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 300 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 80σy​ = −50MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa이다. 최대 주응력이 95 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 80 MPaσy = −50 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −30σy​ = 110τxy​ = −30MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
7.축 응력과 변형률보통
150 kNØ20110 GPaØ100/50800 mmδ = ?

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동1 mØ 16 mm알루미늄2 mP = 20 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 20 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 55 kNL = 1.5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 55 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 5 kN/mζ = 0.6m = 25 kg

강성 5 kN/m인 스프링에 달린 25 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk = 5 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 20k2​ = 15k3​ = 15m = 10 kg

10 kg 질량이 스프링 k₃ = 15 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 15 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 9.718 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 12.15 m/s

전력

P = (1000 − 200)·12.15 = 9718 W = 9.718 kW

답

P = 9.718 kW
2.기어와 기어열

답: Tout = 31.31 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 1450·(16/32)·(16/18) = 644.4 rpm
ωout = 2π·644.4/60 = 67.49 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 2200·0.98² = 2113 W
Tout = Pout/ωout = 2113/67.49 = 31.31 N·m

답

Tout = 31.31 N·m
3.축의 비틀림

답: G = 79.87 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.37·π/180 = 0.02391 rad

전단 탄성 계수

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0.02391) = 79874 MPa
G = 79.87 GPa

답

G = 79.87 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 34.35 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34.35 mm

답

d = 34.35 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 46.64 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (80 + (−50))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 95 − 15 = 80 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 65²) = 46.64 MPa

답

τxy = 46.64 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σvM = 137.8 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 40 MPa, R = 76.16 MPa
σ1 = 116.2 MPa, σ2 = −36.16 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(116.2² − 116.2·(−36.16) + (−36.16)²) = 137.8 MPa

답

σvM = 137.8 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1688 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·5890 = 7.108 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·800/7.108 × 10⁸ = 0.1688 mm

답

δ = 0.1688 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 3.249 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 40.74 MPa
σ2 = 99.47 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 40.74·1000/100000 = 0.4074 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 99.47·2000/70000 = 2.842 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.249 mm

답

δ = 3.249 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 9.646 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9.646 kN

답

Pcr = 9.646 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 77.72 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 77.72 mm

답

d = 77.72 mm

확인: 세장비 KL/r는 154.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: fd = 1.801 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(5000/25) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.6²) = 1.801 Hz

답

fd = 1.801 Hz
12.기계 진동

답: fn = 5.157 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 20 + 15 = 35 kN/m
keq = 35·15/(35 + 15) = 10.5 kN/m

고유 진동수

ωn = √(10500/10) = 32.4 rad/s
fn = 32.4/(2π) = 5.157 Hz

답

fn = 5.157 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design