기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 78.75 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2.5 mm, 감속비 2.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 78.75 mmm = 2.5 mmi = 2.5

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 960 rpm의 125 mm 구동 풀리를 400 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 600 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 600 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1000 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 1000 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 12 kN/m인 스프링에 달린 2 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 2 kgk = 12 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 18

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·78.75/2.5 = 63

비율로 나누기

N₁ = 63/(1 + 2.5) = 18

답

N₁ = 18

2.기어와 기어열

답: P = 2.196 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.912 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.8736 = 2.395, T₂ = 600/2.395 = 250.5 N

전력

P = (600 − 250.5)·6.283 = 2.196 kW

답

P = 2.196 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 8.768 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(39000·251327) = 0.153 rad

φ = 0.153·180/π = 8.768°

답

φ = 8.768°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 7.205 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·30/1.193 × 10⁶ = 7.205 MPa

답

τ_max = 7.205 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 41.69 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 25 − (−5)·0.766 − (−20)·0.6428 = 41.69 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 8.314 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 41.69 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 3.92

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 5 MPa, R = 52.2 MPa

σ₁ = 57.2 MPa, σ₂ = −47.2 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(57.2² − 57.2·(−47.2) + (−47.2)²) = 90.55 MPa

n = 355/90.55 = 3.92

답

n = 3.92

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1166 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1.072 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 250000·500/1.072 × 10⁹ = 0.1166 mm

답

δ = 0.1166 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 443.7 kN

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·7461 = 8.875 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0005) = 0.0005 (황동)

최대 하중

P_max = 0.0005·8.875 × 10⁸ = 443750 N = 443.7 kN

답

P_max = 443.7 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 24.22 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN

답

P_cr = 24.22 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 197.4 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

답

σ_cr = 197.4 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 9.862 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(12000/2) = 77.46 rad/s

f_n = 77.46/(2π) = 12.33 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12.33·√(1 − 0.6²) = 9.862 Hz

답

f_d = 9.862 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 1.517 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/50 → k_eq = 5·50/(5 + 50) = 4.545 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(4545/50) = 9.535 rad/s

f_n = 9.535/(2π) = 1.517 Hz

답

f_n = 1.517 Hz

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