기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 120 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

120 mm 풀리가 1500 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 400 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.

n1 = 1500 rpmd1 = 120 mmd2 = 400 mms = 1 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 24nr​ = ?Np​ = 24캐리어 고정

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 24개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1500 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.

Ns = 24Np = 24ns = 1500 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 400 N·mL = 3 m

길이 3 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 400 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 3°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 400 N·mL = 3 mG = 26 GPaφallow = 3°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
d = 60 mmT0​ = 500 N·mACBa = 3 mb = 0.8 m

지름 60 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 60 mmT0 = 500 N·ma = 3 mb = 0.8 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 70σy​ = 50MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 50 MPa이다. 최대 주응력이 110 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 70 MPaσy = 50 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 110σy​ = 110τxy​ = −10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 110 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaσY = 355 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm500 mmØ30Ø50δ = 0.3 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
30 kN12300 mm300 mmØ25Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 m20 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 30 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
tx15 mm2주기4.2 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 4.2 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 15 mmx2 = 4.2 mmn = 2
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 5k2​ = 10k3​ = 40m = 100 kg

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 40 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 10 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n2 = 445.5 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1500·120/400 = 450 rpm

미끄러짐이 있을 때

n2 = 450·0.99 = 445.5 rpm

답

n2 = 445.5 rpm
2.기어와 기어열

답: nr = 500 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·24 = 72

캐리어 고정일 때의 윌리스 식

nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.

nr = −ns·Ns/Nr = −1500·24/72 = −500 rpm
|nr| = 500 rpm

답

nr = 500 rpm

링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: d = 54.74 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(26000·0.05236) = 881474 mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 54.74 mm

답

d = 54.74 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: TA = 105.3 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·0.8/3.8 = 105.3 N·m
TB = 500·3/3.8 = 394.7 N·m

답

TA = 105.3 N·m
5.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 48.99 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (70 + 50)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 110 − 60 = 50 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 10²) = 48.99 MPa

답

τxy = 48.99 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: n = 3.188

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

σxyCσ1​σ2​

주응력

C = 110 MPa, R = 10 MPa
σ1 = 120 MPa, σ2 = 100 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(120² − 120·100 + 100²) = 111.4 MPa
n = 355/111.4 = 3.188

답

n = 3.188

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 45.74 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2.315 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/6.559 × 10⁻⁶ = 45738 N = 45.74 kN

답

P = 45.74 kN
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 10.79 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·785398/1.113 × 10⁶ = 21176 N

응력

σ2 = 21176/1963 = 10.79 MPa (압축)

답

σ2 = 10.79 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 21.06 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2500² = 21055 N = 21.06 kN

답

Pcr = 21.06 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 68.71 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 68.71 mm

답

d = 68.71 mm

확인: 세장비 KL/r는 349.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.1008

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(15/4.2) = 0.6365

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6365/√(39.48 + 0.4051) = 0.1008

답

ζ = 0.1008
12.기계 진동

답: fn = 1.662 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 5 + 10 = 15 kN/m
keq = 15·40/(15 + 40) = 10.91 kN/m

고유 진동수

ωn = √(10909/100) = 10.44 rad/s
fn = 10.44/(2π) = 1.662 Hz

답

fn = 1.662 Hz

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