기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

125 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 3 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 160 mm 풀리와 400 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 800 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 160 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 1 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 0.8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 강철 축이 750 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 40 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

12 kg 질량이 강성 10 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 170 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 12 kgk = 10 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 10 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 558.1 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1450·125/315 = 575.4 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 575.4·0.97 = 558.1 rpm

답

n₂ = 558.1 rpm

2.기어와 기어열

답: θ = 162.7 °

벨트 각도

asin(0.15) = 8.627°

접촉각

θ = 180 − 2·8.627 = 162.7°

답

θ = 162.7°

3.축의 비틀림

답: φ_C = 16.52 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·1000/(39000·613592) = 0.02089 rad

φ_BC = 500000·800/(39000·38350) = 0.2674 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.02089 + 0.2674 = 0.2883 rad = 16.52°

답

φ_C = 16.52°

4.축의 비틀림

답: d = 31.04 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

강도 기준 지름

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·75)) = 20.52 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31.04 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(20.52, 31.04) = 31.04 mm

답

d = 31.04 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 40 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 20 MPa, R = √(0² + 40²) = 40 MPa

σ₁ = 60 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80, 60, 20)/2 = 40 MPa

답

τ_abs = 40 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 24.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = 85 + 35·−0.5 + −50·0.866 = 24.2 MPa

답

σ_θ = 24.2 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05536 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·4006 = 5.419 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·300/5.419 × 10⁸ = 0.05536 mm

답

δ = 0.05536 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 22.74 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1.131 × 10⁶ N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 100000·1.131 × 10⁶/1.759 × 10⁶ = 64286 N

응력

σ₂ = 64286/2827 = 22.74 MPa (압축)

답

σ₂ = 22.74 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 39.69 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39.69 kN

답

P_cr = 39.69 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 66.92 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66.92 mm

답

d = 66.92 mm

확인: 세장비 KL/r는 119.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.2454

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·12) = 692.8 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 170/692.8 = 0.2454

답

ζ = 0.2454

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 2.055 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/10 → k_eq = 5·10/(5 + 10) = 3.333 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(3333/20) = 12.91 rad/s

f_n = 12.91/(2π) = 2.055 Hz

답

f_n = 2.055 Hz

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