기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1500 rpm으로 도는 0.75 kW 모터가 잇수 50개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 60개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 0.75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 50N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1500 rpm의 150 mm 구동 풀리를 315 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1000 mm입니다. 마찰계수는 0.35이고 긴장측 장력은 1000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 150 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.35T₁ = 1000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 750 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 35 kN구간 1: Ø35 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 60 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 8.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₄ = 8.5 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 30 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 5.73 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m

출력 토크

T₂ = 4.775·60/50·1 = 5.73 N·m

답

T₂ = 5.73 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 7.624 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.976 rad

이완측 장력

e^μθ = e^1.042 = 2.834, T₂ = 1000/2.834 = 352.8 N

전력

P = (1000 − 352.8)·11.78 = 7.624 kW

답

P = 7.624 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 14.37 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·38350) = 0.2507 rad

φ = 0.2507·180/π = 14.37°

답

φ = 14.37°

4.축의 비틀림

답: d = 18.65 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·50)) = 18.65 mm

답

d = 18.65 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 90.14 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 35 MPa, R = √(75² + 50²) = 90.14 MPa

σ₁ = 125.1 MPa, σ₂ = −55.14 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(180.3, 125.1, 55.14)/2 = 90.14 MPa

답

τ_abs = 90.14 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = 31.61 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τ_θ = −−30·0.9397 + 10·0.342 = 31.61 MPa

답

τ_θ = 31.61 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 33.85 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1.019 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.25/7.385 × 10⁻⁶ = 33853 N = 33.85 kN

답

P = 33.85 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 111.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 36.38 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 111.4 MPa

답

σ_max = 111.4 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 7.311 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/12000² = 7311 N = 7.311 kN

답

P_cr = 7.311 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 61.1 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.1 mm

답

d = 61.1 mm

확인: 세장비 KL/r는 196.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.05012

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(30/8.5) = 0.3153

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3153/√(39.48 + 0.0994) = 0.05012

답

ζ = 0.05012

12.기계 진동

답: k_eq = 35 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 30 = 35 kN/m

답

k_eq = 35 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design