기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

160 mm 풀리가 720 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 200 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 720 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 200 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

2900 rpm의 1.1 kW 모터가 기어 A(잇수 18개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 25개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 45개)는 출력축의 기어 D(잇수 72개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 25C = 45D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 2 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 1 m이다. 자유단 C에 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 750 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 50 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 55 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

40 kg 질량이 강성 8 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 90 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 40 kgk = 8 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 80 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 570.2 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

720·160/200 = 576 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 576·0.99 = 570.2 rpm

답

n₂ = 570.2 rpm

2.기어와 기어열

답: T_out = 7.574 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 2900·(18/25)·(45/72) = 1305 rpm

ω_out = 2π·1305/60 = 136.7 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 1100·0.97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/136.7 = 7.574 N·m

답

T_out = 7.574 N·m

3.축의 비틀림

답: φ_C = 13.96 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 400000·2000/(26000·613592) = 0.05015 rad

φ_BC = 400000·1000/(26000·79522) = 0.1935 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.05015 + 0.1935 = 0.2436 rad = 13.96°

답

φ_C = 13.96°

4.축의 비틀림

답: d_o = 48.46 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 1273 N·m = 1.273 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·75·0.7599)) = 48.46 mm

d_i = 0.7·48.46 = 33.92 mm

답

d_o = 48.46 mm

속이 찬 축이라면 d = 44.22 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 65.81 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 100 MPa, R = √(10² + (−30)²) = 31.62 MPa

σ₁ = 131.6 MPa, σ₂ = 68.38 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63.25, 131.6, 68.38)/2 = 65.81 MPa

답

τ_abs = 65.81 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 8.84 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = 45 + −55·0.5 + 10·−0.866 = 8.84 MPa

답

σ_θ = 8.84 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 353.7 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 70.74/200000 = 0.0003537 = 353.7 µε

답

ε = 353.7 µε

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 20.83 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·471239/575959 = 40909 N

응력

σ₂ = 40909/1963 = 20.83 MPa (압축)

답

σ₂ = 20.83 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 2.41 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·4000 = 8000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/8000² = 2410 N = 2.41 kN

답

P_cr = 2.41 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 33.45 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 33.45 mm

답

d = 33.45 mm

확인: 세장비 KL/r는 125.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.07955

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·40) = 1131 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 90/1131 = 0.07955

답

ζ = 0.07955

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 180 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 80 = 180 kN/m

답

k_eq = 180 kN/m

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