기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 30, m = 2 mm

1450 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 30개, 모듈 2 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn = 1450 rpmN1 = 30m = 2 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 20링 고정Np​ = 30nc​ = ?

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 20개, 각 유성 기어의 잇수는 30개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1800 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.

Ns = 20Np = 30ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 100 N·md = 50 mmL = 1.5 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 30 mmT0​ = 750 N·mACBa = 3 mb = 0.8 m

지름 30 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 30 mmT0 = 750 N·ma = 3 mb = 0.8 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −10σy​ = 50τxy​ = −20MPa

한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = −10 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 30σy​ = 20τxy​ = 20MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 30 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPaσY = 420 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12400 mm400 mmØ30Ø30δ = 0.4 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
80 kN12300 mm400 mmØ30Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1 md = 20 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 50 kNL = 1.5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 50 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
tx30 mm1주기23.3 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 23.3 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 30 mmx1 = 23.3 mmn = 1
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 30k2​ = 15m = 25 kg

25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 30 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 15 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: Ft = 329.3 N

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 1500/151.8 = 9.879 N·m

피치원 지름

d = m·N = 2·30 = 60 mm

접선력

Ft = 2T/d = 2·9.879/0.06 = 329.3 N

답

Ft = 329.3 N
2.기어와 기어열

답: nc = 360 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·30 = 80

링 고정일 때의 윌리스 식

nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1800 − nc)/(0 − nc) = −80/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·20/100 = 360 rpm

답

nc = 360 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 0.3591 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·613592) = 0.006268 rad
φ = 0.006268·180/π = 0.3591°

답

φ = 0.3591°
4.축의 비틀림

답: τmax = 111.7 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.8/3.8 = 157.9 N·m
TB = 750·3/3.8 = 592.1 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τmax = 16·592105/(π·30³) = 111.7 MPa

답

τmax = 111.7 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: θs = 61.85 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = −20/36.06 = −0.5547, sin 2θs = −(−30)/36.06 = 0.8321
2θs = atan2(30, −20) = 123.7°

요소에서의 각도

θs = 61.85°
검산: θs − θp = 61.85 − (−73.15) = 135°

답

θs = 61.85°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 9.635

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 25 MPa, R = 20.62 MPa
σ1 = 45.62 MPa, σ2 = 4.384 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(45.62² − 45.62·4.384 + 4.384²) = 43.59 MPa
n = 420/43.59 = 9.635

답

n = 9.635

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 36.65 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/1.091 × 10⁻⁵ = 36652 N = 36.65 kN

답

P = 36.65 kN
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 21.76 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 80000·539961/1.011 × 10⁶ = 42718 N

응력

σ2 = 42718/1963 = 21.76 MPa (압축)

답

σ2 = 21.76 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 15.5 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15.5 kN

답

Pcr = 15.5 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 43.2 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 43.2 mm

답

d = 43.2 mm

확인: 세장비 KL/r는 138.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.04019

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(30/23.3) = 0.2527

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2527/√(39.48 + 0.06388) = 0.04019

답

ζ = 0.04019
12.기계 진동

답: fn = 3.183 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/30 + 1/15 → keq = 30·15/(30 + 15) = 10 kN/m

고유 진동수

ωn = √(10000/25) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz

답

fn = 3.183 Hz

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