기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 24개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 30개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 30η = 98%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 125 mm 풀리와 200 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1000 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 125 mmd₂ = 200 mmC = 1000 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 75 mm, 길이 1.5 m이고, 구간 BC는 지름 60 mm, 길이 3 m이다. 자유단 C에 토크 750 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 750 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 60 mm, L₂ = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 500 N·m이(가), 거기서 1.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 0.8 mBC = 1.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 95 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kN구간 1: Ø40 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 2 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 15 mmx₄ = 2 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 25 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 36.22 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/151.8 = 36.22 N·m

답

T₁ = 36.22 N·m

2.기어와 기어열

답: θ = 175.7 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.0375) = 2.149°

접촉각

θ = 180 − 2·2.149 = 175.7°

답

θ = 175.7°

3.축의 비틀림

답: φ_C = 4.695 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·1500/(26000·3.106 × 10⁶) = 0.01393 rad

φ_BC = 750000·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.06801 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.01393 + 0.06801 = 0.08194 rad = 4.695°

답

φ_C = 4.695°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 2.059 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 500 = 700 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 700000·800/(39000·613592) = 0.0234 rad

φ_BC = 200000·1500/(39000·613592) = 0.01254 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.0234 + 0.01254 = 0.03594 rad → |φ_C| = 2.059°

답

φ_C = 2.059°

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −61.85 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −40/72.11 = −0.5547, sin 2θ_s = −60/72.11 = −0.8321

2θ_s = atan2(−60, −40) = −123.7°

요소에서의 각도

θ_s = −61.85°

검산: θ_s − θ_p = −61.85 − (−16.85) = −45°

답

θ_s = −61.85°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.821

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 105 MPa, R = 62.65 MPa

σ₁ = 167.6 MPa, σ₂ = 42.35 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(167.6² − 167.6·42.35 + 42.35²) = 151 MPa

n = 275/151 = 1.821

답

n = 1.821

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: ε = 967.7 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490.9 = 193.5 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 193.5/200000 = 0.0009677 = 967.7 µε

답

ε = 967.7 µε

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 265.3 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 23.87 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 265.3 MPa

답

σ_max = 265.3 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.071 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3000² = 3071 N = 3.071 kN

답

P_cr = 3.071 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 69.94 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6.25 = 168

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69.94 MPa

답

σ_cr = 69.94 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.07991

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(15/2) = 0.5037

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5037/√(39.48 + 0.2537) = 0.07991

답

ζ = 0.07991

12.기계 진동

답: k_eq = 37 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

답

k_eq = 37 kN/m

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