기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 60 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 1.5 mm, 감속비 3 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 60 mmm = 1.5 mmi = 3

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

960 rpm의 11 kW 모터가 기어 A(잇수 30개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 48개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 48개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 30B = 48C = 18D = 48η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

황동 중공축(바깥지름 60 mm, 안지름 30 mm, 길이 2.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 1500 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 1500 N·md_o = 60 mmd_i = 30 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 2.5 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 50 mmT₀ = 750 N·ma = 1.2 mb = 2.5 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 4 kN/m인 스프링에 달린 8 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 8 kgk = 4 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 50 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 20

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·60/1.5 = 80

비율로 나누기

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

답

N₁ = 20

2.기어와 기어열

답: T_out = 439.3 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 960·(30/48)·(18/48) = 225 rpm

ω_out = 2π·225/60 = 23.56 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 11000·0.97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/23.56 = 439.3 N·m

답

T_out = 439.3 N·m

3.축의 비틀림

답: φ = 4.619 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·2500/(39000·1.193 × 10⁶) = 0.08061 rad

φ = 0.08061·180/π = 4.619°

답

φ = 4.619°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 20.65 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2.5/3.7 = 506.8 N·m

T_B = 750·1.2/3.7 = 243.2 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·506757/(π·50³) = 20.65 MPa

답

τ_max = 20.65 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 14.14 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((140 − 120)/2)² + 10²) = 14.14 MPa

답

τ_max = 14.14 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = −29.41 MPa

변환 식

τ_θ = −−10·−0.6428 + −30·0.766 = −29.41 MPa

답

τ_θ = −29.41 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 45.81 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3.638 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/8.731 × 10⁻⁶ = 45815 N = 45.81 kN

답

P = 45.81 kN

8.축 응력과 변형률

답: δ = 3.666 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 101.9 MPa

σ₂ = 442.1 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101.9·1000/70000 = 1.455 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442.1·1000/200000 = 2.21 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.666 mm

답

δ = 3.666 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 110.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110.2 kN

답

P_cr = 110.2 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 100.7 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7.5 = 140

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

답

σ_cr = 100.7 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 3.334 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(4000/8) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.35²) = 3.334 Hz

답

f_d = 3.334 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 4.745 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 50 + 50 = 100 kN/m

k_eq = 100·80/(100 + 80) = 44.44 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(44444/50) = 29.81 rad/s

f_n = 29.81/(2π) = 4.745 Hz

답

f_n = 4.745 Hz

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