기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 315 mm1500 rpmT1​ = 1200 NT2​ = 240 NP = ?

벨트가 160 mm 구동 풀리 위를 1500 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1200 N, 이완측 240 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 160 mmn1 = 1500 rpmT1 = 1200 NT2 = 240 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 20nr​ = ?Np​ = 12캐리어 고정

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 20개, 각 유성 기어의 잇수는 12개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.

Ns = 20Np = 12ns = 1440 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 2000 N·m

중공축이 토크 2000 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 2000 N·mdi/do = 0.6τallow = 40 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
do​ = ?30 kW, 3000 rpm

중공축이 3000 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.6τallow = 50 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 110σy​ = −70τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 110 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 130σy​ = −70τxy​ = 50MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 130 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPaσY = 275 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm200 mmØ30Ø50δ = 0.3 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm알루미늄1.5 mØ 16 mm강철2 mP = 115 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 115 kN구간 1: Ø40 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 m25 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 145 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 145 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 145 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 4 kN/mc = 280 N·s/mm = 20 kg

20 kg 질량이 강성 4 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 280 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 20 kgk = 4 kN/mc = 280 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 25k2​ = 20m = 50 kg

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 25 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 20 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 12.06 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 12.57 m/s

전력

P = (1200 − 240)·12.57 = 12064 W = 12.06 kW

답

P = 12.06 kW
2.기어와 기어열

답: nr = 654.5 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·12 = 44

캐리어 고정일 때의 윌리스 식

nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.

nr = −ns·Ns/Nr = −1440·20/44 = −654.5 rpm
|nr| = 654.5 rpm

답

nr = 654.5 rpm

링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: do = 66.39 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·40·0.8704)) = 66.39 mm
di = 0.6·66.39 = 39.83 mm

답

do = 66.39 mm

속이 찬 축이라면 d = 63.38 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: do = 22.36 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0.8704)) = 22.36 mm
di = 0.6·22.36 = 13.41 mm

답

do = 22.36 mm

속이 찬 축이라면 d = 21.35 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θp = −9.217 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−30, 110 − −70) = −18.43°

요소에서의 각도

θp = −9.217°

답

θp = −9.217°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.23

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 30 MPa, R = 111.8 MPa
σ1 = 141.8 MPa, σ2 = −81.8 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 223.6 MPa
n = 275/223.6 = 1.23

답

n = 1.23

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 52.64 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1.455 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/5.699 × 10⁻⁶ = 52638 N = 52.64 kN

답

P = 52.64 kN
8.축 응력과 변형률

답: δ = 7.681 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 91.51 MPa
σ2 = 572 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 91.51·1500/70000 = 1.961 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 572·2000/200000 = 5.72 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.681 mm

답

δ = 7.681 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 23.99 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1500² = 23989 N = 23.99 kN

답

Pcr = 23.99 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 49.17 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·145000 = 362500 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 49.17 mm

답

d = 49.17 mm

확인: 세장비 KL/r는 101.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.495

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·20) = 565.7 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 280/565.7 = 0.495

답

ζ = 0.495

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: keq = 11.11 kN/m

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/25 + 1/20 → keq = 25·20/(25 + 20) = 11.11 kN/m

답

keq = 11.11 kN/m

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