기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
160 mm 풀리가 1500 rpm으로 돌며 미끄러짐 2 %인 벨트로 200 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.
n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 200 mms = 2 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 36개)가 1450 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 24개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 1450 rpmA = 36B = 48C = 18D = 24
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
길이 3 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 400 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 3°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
T = 400 N·mL = 3 mG = 26 GPaφallow = 3°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
지름 40 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 2 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 40 mmT0 = 750 N·ma = 1.2 mb = 2 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = −70 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPaσY = 420 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 65 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 50 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 50 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 15.1 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 25 mmx2 = 15.1 mmn = 2
ζ =
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 50 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 15 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: n2 = 1176 rpm
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
미끄러짐 없을 때의 속도
1500·160/200 = 1200 rpm
미끄러짐이 있을 때
n2 = 1200·0.98 = 1176 rpm
답
n2 = 1176 rpm
2.기어와 기어열
답: nout = 815.6 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 1450·36/48 = 1088 rpm = nC
2단
nout = 1088·18/24 = 815.6 rpm
답
nout = 815.6 rpm
전체 기어비 = 1.778 : 1
3.축의 비틀림
답: d = 54.74 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
필요한 극관성 모멘트
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(26000·0.05236) = 881474 mm⁴
지름
d = (32J/π)1/4 = 54.74 mm
답
d = 54.74 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
4.축의 비틀림
답: τmax = 37.3 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2/3.2 = 468.8 N·m
TB = 750·1.2/3.2 = 281.3 N·m
최대 전단 응력
두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).
τmax = 16·468750/(π·40³) = 37.3 MPa
답
τmax = 37.3 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 67.08 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−60 − 0)/2)² + 60²) = 67.08 MPa
답
τmax = 67.08 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 3.32
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −10 MPa, R = 63.25 MPa
σ1 = 53.25 MPa, σ2 = −73.25 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 126.5 MPa
n = 420/126.5 = 3.32
답
n = 3.32
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: ε = 2956 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/70000 = 0.002956 = 2956 µε
답
ε = 2956 µε
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 159.2 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 101.9 MPa
σ2 = 159.2 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 159.2 MPa
답
σmax = 159.2 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 441 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·3000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN
답
Pcr = 441 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 102.5 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 102.5 mm
답
d = 102.5 mm
확인: 세장비 KL/r는 195이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.04009
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/2)·ln(25/15.1) = 0.2521
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2521/√(39.48 + 0.06355) = 0.04009
답
ζ = 0.04009
12.기계 진동
답: fn = 3.419 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/50 + 1/15 → keq = 50·15/(50 + 15) = 11.54 kN/m
고유 진동수
ωn = √(11538/25) = 21.48 rad/s
fn = 21.48/(2π) = 3.419 Hz
답
fn = 3.419 Hz
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