기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

80 mm 풀리가 720 rpm으로 돌며 미끄러짐 1.5 %인 벨트로 200 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 720 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 200 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 60개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 72개)를 구동한다. 기어 C(잇수 16개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1440 rpmA = 60B = 72C = 16D = 60

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 60 mm, 안지름 45 mm, 길이 1.2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 1.2 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 750 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 35° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 45 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 70 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 95 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 4 kN/m인 스프링에 달린 2 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 2 kgk = 4 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 50 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 283.7 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

720·80/200 = 288 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 288·0.985 = 283.7 rpm

답

n₂ = 283.7 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 320 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1440·60/72 = 1200 rpm = n_C

2단

n_out = 1200·16/60 = 320 rpm

답

n_out = 320 rpm

전체 기어비 = 4.5 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 0.7601 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(26000·869767) = 0.01327 rad

φ = 0.01327·180/π = 0.7601°

답

φ = 0.7601°

4.축의 비틀림

답: d = 43.28 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·80)) = 43.28 mm

답

d = 43.28 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 65.7 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 105 − 5·0.342 − 40·0.9397 = 65.7 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 144.3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 210 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 65.7 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.273

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 15 MPa, R = 88.46 MPa

σ₁ = 103.5 MPa, σ₂ = −73.46 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(103.5² − 103.5·(−73.46) + (−73.46)²) = 153.9 MPa

n = 350/153.9 = 2.273

답

n = 2.273

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: ε = 3979 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113.1 = 397.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 397.9/100000 = 0.003979 = 3979 µε

답

ε = 3979 µε

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 250.1 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·3063 = 3.126 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0008, 0.0008571) = 0.0008 (강철)

최대 하중

P_max = 0.0008·3.126 × 10⁸ = 250071 N = 250.1 kN

답

P_max = 250.1 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 12.21 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12.21 kN

답

P_cr = 12.21 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 162.7 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 162.7 mm

답

d = 162.7 mm

확인: 세장비 KL/r는 245.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 5.694 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(4000/2) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.6²) = 5.694 Hz

답

f_d = 5.694 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 16.69 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 50 = 55 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(55000/5) = 104.9 rad/s

f_n = 104.9/(2π) = 16.69 Hz

답

f_n = 16.69 Hz

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