기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 100 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 800 N, 이완측 160 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 800 NT₂ = 160 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1500 rpm의 100 mm 구동 풀리를 200 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 800 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 500 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 200 mmC = 800 mmμ = 0.3T₁ = 500 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 12 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 8.12° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 30 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 8.12°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.5 m, B에서 1.2 m 떨어진 C에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 50 mmT₀ = 100 N·ma = 1.5 mb = 1.2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = 50 MPa이다. 최대 주응력이 160 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 25 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 5 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

100 kg 질량이 강성 100 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 630 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 100 kgk = 100 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 60 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 4.825 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 7.54 m/s

전력

P = (800 − 160)·7.54 = 4825 W = 4.825 kW

답

P = 4.825 kW

2.기어와 기어열

답: P = 2.338 kW

접촉각

θ = 3.017 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.905 = 2.472, T₂ = 500/2.472 = 202.3 N

전력

P = (500 − 202.3)·7.854 = 2.338 kW

답

P = 2.338 kW

3.축의 비틀림

답: G = 26 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8.12·π/180 = 0.1417 rad

전단 탄성 계수

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(2036·0.1417) = 25996 MPa

G = 26 GPa

답

G = 26 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 0.1596 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1.2/2.7 = 44.44 N·m

T_B = 100·1.5/2.7 = 55.56 N·m

C의 회전각

구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 T_A를 받습니다.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 44444·1500/(39000·613592) = 0.002786 rad = 0.1596°

답

φ_C = 0.1596°

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 57.45 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (130 + 50)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 90 = 70 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 40²) = 57.45 MPa

답

τ_xy = 57.45 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −23.45 MPa

변환 식

σ_θ = −40 + 30·0.766 + 10·−0.6428 = −23.45 MPa

답

σ_θ = −23.45 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 32.88 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/1.217 × 10⁻⁵ = 32877 N = 32.88 kN

답

P = 32.88 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 221 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 50.93 MPa

σ₂ = 221 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 221 MPa

답

σ_max = 221 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 33.57 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1750² = 33570 N = 33.57 kN

답

P_cr = 33.57 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 25.79 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 25.79 mm

답

d = 25.79 mm

확인: 세장비 KL/r는 155.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.09961

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·100) = 6325 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 630/6325 = 0.09961

답

ζ = 0.09961

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 7.118 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/60 → k_eq = 12·60/(12 + 60) = 10 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(10000/5) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

답

f_n = 7.118 Hz

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