측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
배설량: V_ab = V_a − V_b
균형: R₁/R₂ = R₃/R₄
슬라이드 와이어 브리지: R/R_x = l/(100 − l)
테브난 저항: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
게이지율: ΔR/R = GF·ε
브리지 출력: 1/4 브리지 V_s·GF·ε/4, 1/2 브리지 V_s·GF·ε/2, 풀 브리지 V_s·GF·ε
미소 변화, 한 변: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
응력: σ = E·ε

방법

브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
불평형 브리지는 분압기에서 V_a와 V_b를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 V_s·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
에일리어스 주파수: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
스텝 크기: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림): ±½ LSB
절사형 ADC 코드: D = ⌊V_in/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수: 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률: 채널 수 × f_s × N bit/s
멀티플렉스 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기: baud = f_clk/(16·D)

방법

주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
표본화 문제에서는 각 주파수를 f_s/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 f_s의 가장 가까운 배수를 이용해 f_a = |f − k·f_s|에 나타납니다.
분해능 문제에서는 1 LSB = V_FSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
비반전 증폭기: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
가산 증폭기: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
이상적인 연산 증폭기: V₊ = V₋, I_in = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압: V_th = V_{open circuit}
테브난 저항: R_th: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류: I_N = V_th/R_th
부하 전류: I_L = V_th/(R_th + R_L)
최대 전력 전달: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

방법

부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 V_th입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 R_th입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: V_th와 R_th의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: I_N = V_th/R_th, R_N = R_th를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통

그림의 브리지를 출력 단자 a와 b에서 본 테브난 저항 R_th을(를) 구하시오.

V_s = 5 VR₁ = 500 ΩR₂ = 120 ΩR₃ = 60 ΩR₄ = 100 Ω

R_th = Ω

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움

E = 200 GPa인 부재에 붙인 스트레인 게이지(GF = 2)가 5 V로 여기되는 1/4 브리지를 이룹니다. 출력은 0.5 mV로 읽힙니다. 축 방향 응력 σ을(를) MPa 단위로 구하시오.

V_s = 5 VGF = 2V_o = 0.5 mVE = 200 GPa

σ = MPa

3.데이터 수집과 표본화보통

9 kHz 사인파를 안티에일리어싱 필터 없이 5 kHz로 표본화합니다. 표본에서 어느 주파수 f_a에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.

f = 9 kHzf_s = 5 kHz

f_a = Hz

4.데이터 수집과 표본화어려움

오디오 측정에 풀스케일 사인파에 대해 이상적인 신호 대 양자화 잡음비가 최소 60 dB 필요합니다. 필요한 최소 ADC 비트 수 N을(를) 구하시오.

SQNR ≥ 60 dB

N =

5.연산 증폭기 회로보통

차동 증폭기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, R₃ = R₁, R₄ = R₂이다. 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V₁ = −1.6 VV₂ = 2.1 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 4.7 kΩ

V_out = V

6.연산 증폭기 회로어려움

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V₁ = −1.4 VV₂ = −1.5 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

7.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

8.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

9.테브난·노턴보통

a–b 사이에 부하 R_L = 15 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 I_L을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.테브난·노턴어려움

단자 a–b에서 본 테브난 전압 V_th을(를) 구하시오.

V₁ = 36 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: R_th = 134.3 Ω

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 V_s를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R₁–R₂는 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)를, 오른쪽 분압기 R₃–R₄는 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)를 주며, 출력은 V_ab = V_a − V_b입니다. 브리지는 R₁/R₂ = R₃/R₄, 즉 R₁·R₄ = R₂·R₃일 때 평형(V_ab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄인 테브난 전원입니다.

전원 단락

R₁∥R₂ = 500·120/620 = 96.77 Ω

R₃∥R₄ = 60·100/160 = 37.5 Ω

테브난 저항

R_th = 134.3 Ω

답

R_th = 134.3 Ω

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: σ = 40 MPa

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 V_o ≈ V_s·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 V_s·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 V_s·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

변형률

ε = 4·0.0005/(5·2) = 0.0002

응력

σ = 200·10³ MPa·0.0002 = 40 MPa

답

σ = 40 MPa

3.데이터 수집과 표본화

답: f_a = 1000 Hz

표본화: ADC는 신호를 초당 f_s번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < f_s/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 f_a = |f − k·f_s|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 f_s/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 f_s/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.

나이퀴스트 주파수

f_s/2 = 2.5 kHz < f = 9 kHz

표본화율의 가장 가까운 배수

k = round(9000/5000) = 2

에일리어스 주파수

f_a = |9000 − 2·5000| = 1000 Hz

답

f_a = 1000 Hz

그림의 점선 곡선이 에일리어스입니다. 정확히 같은 표본들을 지납니다.

4.데이터 수집과 표본화

답: N = 10

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 V_FSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = V_FSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊V_in/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

N에 대해 풀기

N ≥ (60 − 1.76)/6.02 = 9.674

올림하기

N = 10

검산: 6.02·10 + 1.76 = 61.96 dB ≥ 60 dB

답

N = 10

5.연산 증폭기 회로

답: V_out = 0.37 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 단자의 전압

R₃와 R₄에는 같은 전류가 흐르므로 전압 분배기를 이루며, 귀환이 V₋ = V₊가 되게 합니다.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.1·4.7/(47 + 4.7) = 0.1909 V

V₋ = V₊

반전 입력에서의 KCL

(−1.6 − 0.1909)/47 = (0.1909 − V_out)/4.7

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (4.7/47)·(2.1 − (−1.6)) = 0.37 V

답

V_out = 0.37 V

6.연산 증폭기 회로

답: V_out = 0.3828 V

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I₁ = V₁/R₁ = −1.4/22 = −0.06364 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.5/4.7 = −0.3191 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.3828 mA

출력 전압

V_out = −R_f·I_f = −1·(−0.3828) = 0.3828 V

답

V_out = 0.3828 V

7.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 5.75 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω

R_eq = R₁ + 3.75 = 2 + 3.75 = 5.75 Ω

답

R_eq = 5.75 Ω

8.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 15.5 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 1.892 Ω

R₃ + 1.892 = 13.89 Ω

R₂ ∥ 13.89 = 9.495 Ω

R_eq = R₁ + 9.495 = 6 + 9.495 = 15.5 Ω

답

R_eq = 15.5 Ω

9.테브난·노턴

답: I_L = 0.08 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 V_th와 저항 R_th의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 I_N = V_th/R_th와 R_th의 병렬 회로로 나타냅니다.

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 20·8/(20+8) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 15 = 20.71 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·8/(20+8) = 2.857 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2.857/(20.71 + 15) = 0.08 A

10.테브난·노턴

답: V_th = 145 V

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 5·25/(5+25) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 15 = 19.17 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 30 + 6·4.167 = 55 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 55 + 6·15 = 145 V

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측정 및 계측: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

방법

데이터 수집과 표본화

방법

연산 증폭기 회로

저항의 직렬·병렬

방법

테브난·노턴

방법

2연습 문제

3용액

전원 단락

테브난 저항

답

변형률

응력

답

나이퀴스트 주파수

표본화율의 가장 가까운 배수

에일리어스 주파수

답

N에 대해 풀기

올림하기

답

입력 단자의 전압

반전 입력에서의 KCL

답

입력 전류

출력 전압

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

답

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기