측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−2 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vab​ = ?

브리지의 네 변이 모두 1000 Ω이고 Vs = 2 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 1 Ω만큼 증가합니다. 미소 변화 근사를 써서 출력 Vab을(를) mV 단위로 구하시오.

Vs = 2 VR = 1000 ΩΔR = 1 Ω
Vab = mV
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−10 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​

1/4 브리지(능동 게이지 하나, GF = 2.05)에 10 V를 여기합니다. 측정해야 할 최대 변형률은 600 µε이며, 이것이 아날로그-디지털 변환기의 입력에서 3.3 V가 되어야 합니다. 증폭기 이득 G을(를) 구하시오.

Vs = 10 VGF = 2.05εmax = 600 µεVFS = 3.3 V
G =
3.데이터 수집과 표본화보통
tTs​ = 1/fs​f = 6.4 kHzfs​ = 8 kHz

6.4 kHz 사인파를 안티에일리어싱 필터 없이 8 kHz로 표본화합니다. 표본에서 어느 주파수 fa에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.

f = 6.4 kHzfs = 8 kHz
fa = Hz
4.데이터 수집과 표본화어려움
122 ch∿01tc​ = 2.5 µstset​ = 2 µsfs​ = ?

2채널 멀티플렉서가 ADC 하나에 연결됩니다. 변환 한 번에 2.5 µs가 걸리고, 채널을 바꿀 때마다 입력이 안정되는 데 2 µs가 필요합니다. 채널은 쉬지 않고 차례로 스캔됩니다. 각 채널의 표본화율 fs을(를) kHz 단위로 구하시오.

n = 2tc = 2.5 µstset = 2 µs
fs = kHz
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력은 ±12 V에서 포화된다. 비반전 증폭기를 사인파로 구동한다. 출력이 잘리지 않는 최대 입력 진폭 Vin,max(최댓값)을(를) 구하시오.

R1 = 4.7 kΩRf = 10 kΩVsat = ±12 V
Vin,max = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −1.7 VR1​ = 2 kΩV2​ = 2 VR2​ = 47 kΩIf​

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 귀환 저항을 통해 출력 쪽으로 흐르는 전류 If을(를) 구하시오.

V1 = −1.7 VV2 = 2 VR1 = 2 kΩR2 = 47 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​12 ΩBR6​30 Ω

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 ΩR5 = 15 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 6 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​5 ABRL​4 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 4 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 ΩRL = 4 Ω
IL = A

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Vab = 0.5 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

상대 변화

ΔR/R = 1/1000 = 0.001

선형화한 출력

Vab ≈ 2·0.001/4 = 0.5 mV

답

Vab = 0.5 mV

정확한 값은 0.4998 mV입니다. ΔR/R이 작을 때는 근사가 잘 맞습니다.

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: G = 1073

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

풀 스케일에서의 브리지 출력

Vo = 3.075 mV

이득

G = 3.3/0.003075 = 1073

답

G = 1073
3.데이터 수집과 표본화

답: fa = 1600 Hz

표본화: ADC는 신호를 초당 fs번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < fs/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 fa = |f − k·fs|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 fs/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.

나이퀴스트 주파수

fs/2 = 4 kHz < f = 6.4 kHz

표본화율의 가장 가까운 배수

k = round(6400/8000) = 1

에일리어스 주파수

fa = |6400 − 1·8000| = 1600 Hz

답

fa = 1600 Hz

그림의 점선 곡선이 에일리어스입니다. 정확히 같은 표본들을 지납니다.

4.데이터 수집과 표본화

답: fs = 111.1 kHz

데이터 전송률: 각 채널은 초당 fs개의 N비트 표본을 내보내므로 원시 전송률은 채널 수 × fs × N bit/s입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로(12비트 표본은 2바이트로 저장) 기록에 필요한 메모리는 채널 수 × fs × 표본당 바이트 수 × 시간입니다. 멀티플렉스 ADC는 채널을 차례로 변환합니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리므로 n개 채널을 한 바퀴 도는 데 n·t가 걸리고, 각 채널은 1/(n·t)로 표본화됩니다.

채널당 시간

2.5 + 2 = 4.5 µs

스캔당 시간

2·4.5 = 9 µs

채널당 표본화율

fs = 1/9 µs = 111.1 kHz

답

fs = 111.1 kHz
5.연산 증폭기 회로

답: Vin,max = 3.837 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

이득

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 10/4.7 = 3.128

잘리기 전의 최대 입력

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/3.128 = 3.837 V

답

Vin,max = 3.837 V
6.연산 증폭기 회로

답: If = −0.8074 mA

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = −1.7/2 = −0.85 mA
I2 = V2/R2 = 2/47 = 0.04255 mA
If = I1 + I2 = −0.8074 mA

답

If = −0.8074 mA
7.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 0.6069 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 6·22/(6+22) = 4.714 Ω
Req = R1 + 4.714 = 20 + 4.714 = 24.71 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 15/24.71 = 0.6069 A

답

IR1 = 0.6069 A
8.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 0.6761 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​12 ΩBR6​30 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 15 + 30 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 9.474 Ω
R3 + 9.474 = 12.47 Ω
R2 ∥ 12.47 = 4.874 Ω
Req = R1 + 4.874 = 4 + 4.874 = 8.874 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 6/8.874 = 0.6761 A

답

IR1 = 0.6761 A
9.테브난·노턴

답: IN = 0.6 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω단락R2​2 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1 + 4 = 5 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·2/(2+2) = 3 V
IN​0.6 ARth​5 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 3/5 = 0.6 A
10.테브난·노턴

답: IL = 4.478 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 25 Ω단락R2​4 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 25 = 27.4 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.6 + 5·2.4 = 15.6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15.6 + 5·25 = 140.6 V
Rth​ = 27.4 Ω+−Vth​140.6 VRL​4 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 140.6/(27.4 + 4) = 4.478 A

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