측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
배설량: V_ab = V_a − V_b
균형: R₁/R₂ = R₃/R₄
슬라이드 와이어 브리지: R/R_x = l/(100 − l)
테브난 저항: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
게이지율: ΔR/R = GF·ε
브리지 출력: 1/4 브리지 V_s·GF·ε/4, 1/2 브리지 V_s·GF·ε/2, 풀 브리지 V_s·GF·ε
미소 변화, 한 변: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
응력: σ = E·ε

방법

브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
불평형 브리지는 분압기에서 V_a와 V_b를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 V_s·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
에일리어스 주파수: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
스텝 크기: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림): ±½ LSB
절사형 ADC 코드: D = ⌊V_in/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수: 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률: 채널 수 × f_s × N bit/s
멀티플렉스 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기: baud = f_clk/(16·D)

방법

주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
표본화 문제에서는 각 주파수를 f_s/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 f_s의 가장 가까운 배수를 이용해 f_a = |f − k·f_s|에 나타납니다.
분해능 문제에서는 1 LSB = V_FSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
비반전 증폭기: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
가산 증폭기: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
이상적인 연산 증폭기: V₊ = V₋, I_in = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압: V_th = V_{open circuit}
테브난 저항: R_th: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류: I_N = V_th/R_th
부하 전류: I_L = V_th/(R_th + R_L)
최대 전력 전달: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

방법

부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 V_th입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 R_th입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: V_th와 R_th의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: I_N = V_th/R_th, R_N = R_th를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통

1000 Ω 스트레인 게이지가 네 변이 1000 Ω으로 같은 브리지의 한 변(R₂)이며 여기 전압은 6 V입니다. 게이지에서 소비되는 전력 P_g을(를) mW 단위로 구하시오. 자기 발열이 여기 전압을 제한합니다.

V_s = 6 VR = 1000 Ω

P_g = mW

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움

능동 게이지 하나(GF = 2.05)인 1/4 브리지에 3 V를 여기합니다. 하중을 받으면 출력이 1.845 mV로 읽힙니다. 변형률 ε을(를) µε 단위로 구하시오.

V_s = 3 VGF = 2.05V_o = 1.845 mV

ε = µε

3.데이터 수집과 표본화보통

입력 범위 0~10 V인 12비트 ADC가 절사합니다: 출력 코드는 1 LSB = V_FSR/2ᴺ일 때 ⌊V_in/LSB⌋입니다. 입력이 7.901 V일 때 십진수 출력 코드 D을(를) 구하시오.

N = 12V_FSR = 10 VV_in = 7.901 V

D =

4.데이터 수집과 표본화어려움

8채널 멀티플렉서가 ADC 하나에 연결됩니다. 변환 한 번에 8 µs가 걸리고, 채널을 바꿀 때마다 입력이 안정되는 데 5 µs가 필요합니다. 채널은 쉬지 않고 차례로 스캔됩니다. 각 채널의 표본화율 f_s을(를) kHz 단위로 구하시오.

n = 8t_c = 8 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

5.연산 증폭기 회로보통

차동 증폭기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, R₃ = R₁, R₄ = R₂이다. 반전 입력의 전압 V₋을(를) 구하시오.

V₁ = 0.4 VV₂ = 2.6 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V₋ = V

6.연산 증폭기 회로어려움

적분기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, 출력은 ±13 V에서 포화된다. t = 0에 일정한 입력 V_in = 1.2 V를 가할 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 5 ms에서의 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V_in = 1.2 VR = 4.7 kΩC = 0.47 µFV_sat = ±13 Vt = 5 ms

V_out = V

7.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

9.테브난·노턴보통

단자 a–b에서 본 테브난 전압 V_th을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

10.테브난·노턴어려움

a–b 사이에 부하 R_L = 25 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 I_L을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VI_s = 6 AR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: P_g = 9 mW

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 V_s를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R₁–R₂는 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)를, 오른쪽 분압기 R₃–R₄는 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)를 주며, 출력은 V_ab = V_a − V_b입니다. 브리지는 R₁/R₂ = R₃/R₄, 즉 R₁·R₄ = R₂·R₃일 때 평형(V_ab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄인 테브난 전원입니다.

게이지에 걸리는 전압

V = 6/2 = 3 V

전력

P_g = 3²/1000 = 9 mW

답

P_g = 9 mW

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: ε = 1200 µε

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 V_o ≈ V_s·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 V_s·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 V_s·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

1/4 브리지 방정식 풀기

ε = 4·0.001845/(3·2.05) = 0.0012

마이크로 스트레인 단위로

ε = 1200 µε

답

ε = 1200 µε

3.데이터 수집과 표본화

답: D = 3236

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 V_FSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = V_FSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊V_in/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

스텝 크기

1 LSB = 10/2¹² = 2.441 mV

코드

V_in/LSB = 7901/2.441 = 3236

코드 = ⌊3236⌋ = 3236

답

D = 3236

이진수로는 110010100100입니다.

4.데이터 수집과 표본화

답: f_s = 9.615 kHz

데이터 전송률: 각 채널은 초당 f_s개의 N비트 표본을 내보내므로 원시 전송률은 채널 수 × f_s × N bit/s입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로(12비트 표본은 2바이트로 저장) 기록에 필요한 메모리는 채널 수 × f_s × 표본당 바이트 수 × 시간입니다. 멀티플렉스 ADC는 채널을 차례로 변환합니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리므로 n개 채널을 한 바퀴 도는 데 n·t가 걸리고, 각 채널은 1/(n·t)로 표본화됩니다.

채널당 시간

8 + 5 = 13 µs

스캔당 시간

8·13 = 104 µs

채널당 표본화율

f_s = 1/104 µs = 9.615 kHz

답

f_s = 9.615 kHz

5.연산 증폭기 회로

답: V₋ = 1.788 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 단자의 전압

R₃와 R₄에는 같은 전류가 흐르므로 전압 분배기를 이루며, 귀환이 V₋ = V₊가 되게 합니다.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.6·22/(10 + 22) = 1.788 V

V₋ = V₊

답

V₋ = 1.788 V

6.연산 증폭기 회로

답: V_out = −2.716 V

입력 전류와 증가율

kΩ × µF는 밀리초입니다.

RC = 4.7 kΩ · 0.47 µF = 2.209 ms

증가율 = −V_in/(RC) = −1.2/2.209 = −0.5432 V/ms

주어진 시각의 출력

이상값이 ±V_sat 안에 있으므로 적분기는 아직 잘리지 않았습니다.

V_out = −V_in·t/(RC) = −1.2·5/2.209 = −2.716 V

답

V_out = −2.716 V

7.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.2154 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 10·7/(10+7) = 4.118 Ω

R_eq = R₁ + 4.118 = 15 + 4.118 = 19.12 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/19.12 = 0.5231 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.5231·15 = 2.154 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.154/10 = 0.2154 A

답

I_R2 = 0.2154 A

8.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 7.277 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 2.182 Ω

R₃ + 2.182 = 4.182 Ω

R₂ ∥ 4.182 = 2.277 Ω

R_eq = R₁ + 2.277 = 5 + 2.277 = 7.277 Ω

답

R_eq = 7.277 Ω

9.테브난·노턴

답: V_th = 6.667 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 V_th와 저항 R_th의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 I_N = V_th/R_th와 R_th의 병렬 회로로 나타냅니다.

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 6 = 12.67 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·15/(12+15) = 6.667 V

10.테브난·노턴

답: I_L = 3.742 A

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 30 = 38.57 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + 6·8.571 = 57.86 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 57.86 + 6·30 = 237.9 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 237.9/(38.57 + 25) = 3.742 A

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측정 및 계측: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

방법

데이터 수집과 표본화

방법

연산 증폭기 회로

저항의 직렬·병렬

방법

테브난·노턴

방법

2연습 문제

3용액

게이지에 걸리는 전압

전력

답

1/4 브리지 방정식 풀기

마이크로 스트레인 단위로

답

스텝 크기

코드

답

채널당 시간

스캔당 시간

채널당 표본화율

답

입력 단자의 전압

답

입력 전류와 증가율

주어진 시각의 출력

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원 전류

R₂에 흐르는 전류

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

답

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기