측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−5 VR1​ = 250 ΩR2​ = 80 ΩR3​ = 80 ΩR4​ = 40 ΩabGRg​ = 50 Ω

저항 50 Ω의 검류계가 그림의 브리지(Vs = 5 V)의 a와 b 사이에 연결되어 있습니다. a에서 b로 흐르는 검류계 전류 Ig을(를) µA 단위로 구하시오.

Vs = 5 VR1 = 250 ΩR2 = 80 ΩR3 = 80 ΩR4 = 40 ΩRg = 50 Ω
Ig = µA
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−

게이지율 2인 120 Ω 스트레인 게이지가 강철 막대에 부착되어 있습니다. 하중을 받으면 저항이 0.06 Ω 증가합니다. 변형률 ε을(를) 마이크로 스트레인(µε) 단위로 구하시오.

R = 120 ΩGF = 2ΔR = 0.06 Ω
ε = µε
3.데이터 수집과 표본화보통
Vin​N = 24VFSR​2ᴺ − 101 LSB

풀스케일 사인파에 대한 24비트 ADC의 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR을(를) 구하시오.

N = 24
SQNR = dB
4.데이터 수집과 표본화어려움
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​38400 Bd, 8E1

16비트 ADC가 모든 표본을 38400 baud, 8E1 형식(시작 비트, 데이터 비트 8개, 짝수 패리티, 정지 비트 1개)의 UART로 계속 전송합니다. 각 표본은 2바이트로 전송되고 링크는 항상 사용 중입니다. 에일리어싱 없이 표본화할 수 있는 최고 신호 주파수 fmax을(를) Hz 단위로 구하시오.

baud = 38400 BdN = 168E1
fmax = Hz
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 0.9 V

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

Vin = 0.9 VR1 = 10 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = 0.1 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 2 VR3​ = 22 kΩR4​ = 10 kΩ

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 저항비가 맞지 않는다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = 0.1 VV2 = 2 VR1 = 4.7 kΩR2 = 4.7 kΩR3 = 22 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩIR2​AR4​5 ΩB

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​15 Ω

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 ΩR4 = 8 ΩR5 = 12 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAIs​2 ABRL​3 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 3 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 30 VIs = 2 AR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩRL = 3 Ω
PL = W

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Ig = −3311 µA

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

테브난 전압

Vth = 5·(80/330 − 40/120) = −0.4545 V

테브난 저항

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 87.27 Ω

검류계 전류

Ig = −0.4545/(87.27 + 50) = −3311 µA

답

Ig = −3311 µA
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: ε = 250 µε

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

상대 저항 변화

ΔR/R = 0.06/120 = 0.0005

변형률

ε = 0.0005/2 = 0.00025 = 250 µε

답

ε = 250 µε
3.데이터 수집과 표본화

답: SQNR = 146.2 dB

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

이상적인 SQNR

SQNR = 6.02·24 + 1.76 = 146.2 dB

답

SQNR = 146.2 dB
4.데이터 수집과 표본화

답: fmax = 872.7 Hz

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

선로상의 표본당 비트 수

2·11 = 22 bit

최고 표본화율

fs,max = 38400/22 = 1745 Hz

나이퀴스트 한계

fmax = 1745/2 = 872.7 Hz

답

fmax = 872.7 Hz
5.연산 증폭기 회로

답: Vout = 1.8 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

반전 입력이 입력을 따라감

V₋ = V₊ = 0.9 V
I = V₋/R1 = 0.9/10 = 0.09 mA

출력 전압

R₁의 전류는 Rf에도 흐릅니다.

Vout = V₋ + I·Rf = 0.9 + 0.09·10 = 1.8 V

답

Vout = 1.8 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = 1.15 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

+ 입력의 전압

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2·10/(22 + 10) = 0.625 V

두 입력의 중첩

V₂ = 0이면 V₁은 반전 증폭기로 보입니다. V₁ = 0이면 V₊가 비반전 이득 1 + R₂/R₁로 증폭됩니다.

Vout = −(4.7/4.7)·0.1 + (1 + 4.7/4.7)·0.625 = −0.1 + 1.25 = 1.15 V

답

Vout = 1.15 V
7.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.9402 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 6·11/(6+11) = 3.882 Ω
Req = R1 + 3.882 = 3 + 3.882 = 6.882 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 10/6.882 = 1.453 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1.453·3 = 5.641 V
IR2 = VA/R2 = 5.641/6 = 0.9402 A

답

IR2 = 0.9402 A
8.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.497 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​8 ΩBR6​15 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 12 + 15 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 6.171 Ω
R3 + 6.171 = 36.17 Ω
R2 ∥ 36.17 = 10.6 Ω
Req = R1 + 10.6 = 15 + 10.6 = 25.6 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 18/25.6 = 0.703 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.703·15 = 7.454 V
IR2 = VA/R2 = 7.454/15 = 0.497 A

답

IR2 = 0.497 A
9.테브난·노턴

답: Rth = 10.67 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω단락R2​15 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 4 = 10.67 Ω
10.테브난·노턴

답: PL = 18.58 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​30 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.571 + 20 = 28.57 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 21.43 + 2·8.571 = 38.57 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 38.57 + 2·20 = 78.57 V
Rth​ = 28.57 Ω+−Vth​78.57 VRL​3 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 78.57/(28.57 + 3) = 2.489 A
PL = IL²·RL = 2.489²·3 = 18.58 W

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