재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm구리1.5 mP = 55 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø2570 GPaØ120/50600 mm

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 70 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
T = 400 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 60 mm, di​ = 48 mm

속이 빈 축이 1000 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 3 kN/mP = 15 kNAB4 m1 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 15 kN 위치 4 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
5 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 6 m5 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
2803016010x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2201516010x부모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 60 MPa, 압축 150 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 160 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 20σy​ = 110τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 20 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 90σy​ = 50τxy​ = −40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 90 MPaσy = 50 MPaτxy = −40 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
P = 24 kNABδ1.5 m0.5 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 24 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 10 kN/mP = 25 kNδL = 2.5 m

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 25 kNw = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m50 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 135 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 135 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 135 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 6.235 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 55·1000/113.1 = 486.3 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 486.3/117000 = 0.004156 = 4156 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.004156·1500 mm = 6.235 mm

답

δ = 6.235 mm
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 564.3 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·9346 = 7.524 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0008571) = 0.00075 (강철)

최대 하중

Pmax = 0.00075·7.524 × 10⁸ = 564309 N = 564.3 kN

답

Pmax = 564.3 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 8.868 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·79522) = 0.1548 rad
φ = 0.1548·180/π = 8.868°

답

φ = 8.868°
4.축의 비틀림

답: τmax = 19.07 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 477465·30/751193 = 19.07 MPa

답

τmax = 19.07 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: MA = −97.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −15·4 = −60 kN·m
w: −3·5²/2 = −37.5 kN·m
MA = −60 − 37.5 = −97.5 kN·m

답

MA = −97.5 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 5 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 0.5 kN, R2 = 84.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −2, MC = −9, MD = −21, ME = −38, MF = −60 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 16.17 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
웨브: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·175 + 1600·80)/10000 = 159.8 mm

평행축 정리

플랜지: 280·30³/12 + 8400·(175 − 159.8)² = 2.571 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·160³/12 + 1600·(80 − 159.8)² = 1.36 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.571 × 10⁶ + 1.36 × 10⁷ = 1.617 × 10⁷ mm⁴ = 16.17 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 16.17 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 12.66 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (3300·167.5 + 1600·80)/4900 = 138.9 mm
윗면 가장자리: c = 175 − 138.9 = 36.07 mm

단면 2차 모멘트

I = 220·15³/12 + 3300·28.57² + 10·160³/12 + 1600·58.93² = 1.173 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

부모멘트: 위는 인장, 아래는 압축입니다.

윗면 가장자리: M = 60·1.173 × 10⁷/36.07 = 19.5 kN·m
아랫면 가장자리: M = 150·1.173 × 10⁷/138.9 = 12.66 kN·m

지배 값

Mallow = min = 12.66 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 12.66 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 54.08 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((20 − 110)/2)² + −30²) = 54.08 MPa

답

τmax = 54.08 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 52.21 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 70 + 20·0.6428 + −40·0.766 = 52.21 MPa

답

σθ = 52.21 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 20.45 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa³/(3EI) = 24000·1500³/(3·1.32 × 10¹²) = 20.45 mm

답

δP = 20.45 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 15.74 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 25000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(48EI) = 25000·2500³/(48·8.4 × 10¹¹) = 9.688 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 6.055 mm

더하기

δmax = 9.688 + 6.055 = 15.74 mm

답

δmax = 15.74 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 913.9 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/1500² = 913852 N = 913.9 kN

답

Pcr = 913.9 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 97.28 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 97.28 mm

답

d = 97.28 mm

확인: 세장비 KL/r는 123.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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