축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 80 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 500 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
15 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mw = 6 kN/m, 0부터 3 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 52.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 260 mmM = 15 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −20 MPaσy = −60 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = −10 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 지점 A에서 a = 5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.
P = 5 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 2 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 13.06 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 80·1000/78.54 = 1019 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1019/117000 = 0.008706 = 8706 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.008706·1500 mm = 13.06 mm
답
δ = 13.06 mm
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 13.11 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 40000·439823/1.068 × 10⁶ = 16471 N
응력
σ2 = 16471/1257 = 13.11 MPa (압축)
답
σ2 = 13.11 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 13.3 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(26000·79522) = 0.2322 rad
φ = 0.2322·180/π = 13.3°
답
φ = 13.3°
4.축의 비틀림
답: d = 45.01 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·80)) = 45.01 mm
답
d = 45.01 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 6 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 37.5 kN, R2 = 37.5 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 65, MC = 110, MD = 135 kN·m, ME = 110, MF = 65, MG = 0
답
표시점 D: MD = 135 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 15.19 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, 작용점 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·3·1.5
RB = 27/6 = 4.5 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 4.5 = 13.5 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 13.5/6 = 2.25 m
최대 모멘트
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 13.5·2.25 − 6·2.25²/2 = 15.19 kN·m
답
Mmax = 15.19 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 39.91 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (22500·75 − 2827·52.5)/(22500 − 2827) = 78.23 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·150³/12 + 22500·−3.234² = 42.42 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·60⁴/64 + 2827·−25.73² = 2.509 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 39.91 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 39.91 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 27.07 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
웨브: Aw = 18·260 = 4680 mm², yw = 260/2 = 130 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·265 + 4680·130)/6880 = 173.2 mm
평행축 정리
플랜지: 220·10³/12 + 2200·(265 − 173.2)² = 1.857 × 10⁷ mm⁴
웨브: 18·260³/12 + 4680·(130 − 173.2)² = 3.509 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.857 × 10⁷ + 3.509 × 10⁷ = 5.366 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.
y = 270 − 173.2 = 96.83 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·96.83/5.366 × 10⁷ = 27.07 MPa
답
σ위 = 27.07 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 28.28 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−20 − −60)/2)² + −20²) = 28.28 MPa
답
τmax = 28.28 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = −20.31 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −35·0.866 + −20·−0.5 = −20.31 MPa
답
τθ = −20.31 MPa
11.보의 처짐
답: δP = 1.51 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 5000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
하중 아래의 처짐
δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·5000²·1000²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 1.51 mm
답
δP = 1.51 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 54.93 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 2000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 2000·6000³/(48·1.7 × 10¹²) = 5.294 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 49.63 mm
더하기
δmax = 5.294 + 49.63 = 54.93 mm
답
δmax = 54.93 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 2.481 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·2500 = 2500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN
답
Pcr = 2.481 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 4.318 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
답
σcr = 4.318 MPa
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