재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 60 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 1000 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0.8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mw = 4 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 55 kN 위치 6 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 110 mm, 두께 16 mm이고, 전체 높이는 480 mm, 웨브 두께는 12 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 S_x을(를) 구하시오.

B = 110 mmH = 480 mmt_f = 16 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 25 kN·m

σ_위 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 1000 mm, 벽 두께 12 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 0.8 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 55°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 1000 mmt = 12 mmp = 0.8 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 지점 A에서 a = 4 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 5 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.보의 처짐어려움

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04939 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·300/9.111 × 10⁸ = 0.04939 mm

답

δ = 0.04939 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 191 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 62.36 MPa

σ₂ = 191 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 191 MPa

답

σ_max = 191 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 7.662 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·38350) = 0.1337 rad

φ = 0.1337·180/π = 7.662°

답

φ = 7.662°

4.축의 비틀림

답: d_o = 27.41 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·80·0.5904)) = 27.41 mm

d_i = 0.8·27.41 = 21.93 mm

답

d_o = 27.41 mm

속이 찬 축이라면 d = 22.99 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 6 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 8·1 − 4·1·0.5 = 6 kN·m

답

M_x = 6 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 192 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·6 + 5·10·5

R_B = 580/10 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 58 = 47 kN

V = 0인 곳은?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 17 kN

V(6⁺) = 17 − 55 = −38 kN

전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 47·6 − 5·6²/2 = 192 kN·m

답

M_max = 192 kN·m

A에서 x = 6 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: S_x = 1164 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 480 − 2·16 = 448 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·480³ − 98·448³)/12

I_x = 2.795 × 10⁸ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 240 mm

S_x = I/c = 2.795 × 10⁸/240

S_x = 1.164 × 10⁶ mm³ = 1164 × 10³ mm³

답

S_x = 1164 × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 76.61 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167.5 mm

웨브: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·167.5 + 2240·80)/5240 = 130.1 mm

평행축 정리

플랜지: 200·15³/12 + 3000·(167.5 − 130.1)² = 4.254 × 10⁶ mm⁴

웨브: 14·160³/12 + 2240·(80 − 130.1)² = 1.04 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.254 × 10⁶ + 1.04 × 10⁷ = 1.465 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 175 − 130.1 = 44.9 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·44.9/1.465 × 10⁷ = 76.61 MPa

답

σ_위 = 76.61 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 58.52 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((50 − −60)/2)² + −20²) = 58.52 MPa

답

τ_max = 58.52 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 7.831 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0.8·500/12 = 33.33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16.67 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (33.33 − 16.67)·sin 55°·cos 55° = 7.831 MPa

답

|τ_n| = 7.831 MPa

11.보의 처짐

답: δ_P = 1.159 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 5000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 5000·4000²·1000²/(3·4.6 × 10¹²·5000) = 1.159 mm

답

δ_P = 1.159 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 166.3 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·10) = 3.835 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·3.835 × 10⁷/100)^1/3 = 166.3 mm

답

h_req = 166.3 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 49.13 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/750² = 49129 N = 49.13 kN

답

P_cr = 49.13 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 69.09 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

답

σ_cr = 69.09 MPa

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