재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 10 mm구리3 mP = 10 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 10 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø20120 GPaØ120/60600 mm

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
do​ = ?15 kW, 300 rpm

중공축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 300 rpmdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
M0​ = 30 kN·mAB1 m7 m

단순보의 A에서 x = 1 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 30 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mM0 = 30 kN·m 시계 방향, 위치 1 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mP = 45 kNAB5 m3 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 45 kN 위치 5 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm240 mm96 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 96 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2801526016x정모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 35 MPa, 압축 120 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 260 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 140σy​ = 50τxy​ = 10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 140 MPaσy = 50 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 150σy​ = 80τxy​ = 10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPaσY = 250 MPa
n =
11.보의 처짐보통
P = 7 kNABδ2 m1 m

단순보의 지점 A에서 a = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 7 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 15 kN/mAB5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m30 × 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 2 md = 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 3.265 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78.54 = 127.3 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/117000 = 0.001088 = 1088 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.001088·3000 mm = 3.265 mm

답

δ = 3.265 mm
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 720.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·8482 = 1.081 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0006667) = 0.0006667 (구리)

최대 하중

Pmax = 0.0006667·1.081 × 10⁹ = 720472 N = 720.5 kN

답

Pmax = 720.5 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 11.08 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·79522) = 0.1935 rad
φ = 0.1935·180/π = 11.08°

답

φ = 11.08°
4.축의 비틀림

답: do = 37.2 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·80·0.5904)) = 37.2 mm
di = 0.8·37.2 = 29.76 mm

답

do = 37.2 mm

속이 찬 축이라면 d = 31.21 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 26.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 30/8 = 3.75 kN (위쪽)
RA = −RB = −3.75 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 RA와 우력이 포함됩니다.

Mx = RA·a + M0 = −3.75·1 + 30 = 26.25 kN·m

답

Mx = 26.25 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 114.4 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·5 + 4·8·4
RB = 353/8 = 44.13 kN
ΣFy = 0: RA = 77 − 44.13 = 32.88 kN

V = 0인 곳은?

V(5⁻) = RA − w·5 = 12.88 kN
V(5⁺) = 12.88 − 45 = −32.13 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 32.88·5 − 4·5²/2 = 114.4 kN·m

답

Mmax = 114.4 kN·m

A에서 x = 5 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (28800·120 − 1257·96)/(28800 − 1257) = 121.1 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·240³/12 + 28800·−1.095² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·40⁴/64 + 1257·−25.09² = 0.917 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 11.08 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (4200·267.5 + 4160·130)/8360 = 199.1 mm
윗면 가장자리: c = 275 − 199.1 = 75.92 mm

단면 2차 모멘트

I = 280·15³/12 + 4200·68.42² + 16·260³/12 + 4160·69.08² = 6.303 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 120·6.303 × 10⁷/75.92 = 99.62 kN·m
아랫면 가장자리: M = 35·6.303 × 10⁷/199.1 = 11.08 kN·m

지배 값

Mallow = min = 11.08 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 11.08 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 70.55 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 95 MPa, R = √(45² + 10²) = 46.1 MPa
σ1 = 141.1 MPa, σ2 = 48.9 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(92.2, 141.1, 48.9)/2 = 70.55 MPa

답

τabs = 70.55 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.651

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

σxyCσ1​σ2​

주응력

C = 115 MPa, R = 36.4 MPa
σ1 = 151.4 MPa, σ2 = 78.6 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 151.4 MPa
n = 250/151.4 = 1.651

답

n = 1.651

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δP = 3.367 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 7000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·2000²·1000²/(3·9.24 × 10¹¹·3000) = 3.367 mm

답

δP = 3.367 mm
12.보의 처짐

답: MA = 46.88 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28.13 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = wL²/2 − RB·L = 187.5 − 140.6 = 46.88 kN·m

답

MA = 46.88 kN·m
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 116 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1750² = 116018 N = 116 kN

답

Pcr = 116 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 111 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa

답

σcr = 111 MPa

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