재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 16 mm강철1.5 mP = 70 kN

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 70 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm구리0.5 mØ 16 mm알루미늄1 mP = 60 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 60 kN구간 1: Ø40 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 400 N·m

중공축이 토크 400 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 400 N·mdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
d = 60 mmT0​ = 100 N·mACBa = 2 mb = 1.5 m

지름 60 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 60 mmT0 = 100 N·ma = 2 mb = 1.5 m
TA = N·m
5.전단력과 휨 모멘트보통
10 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 10 m10 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
6 kN/m40 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

40 kN @ 12 m50 kN @ 2 m6 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
B = 220H = 350t = 14x치수 단위: mm

속이 빈 직사각형(상자형) 단면의 바깥 폭은 B = 220 mm, 바깥 높이는 H = 350 mm, 균일한 벽 두께는 t = 14 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

B = 220 mmH = 350 mmt = 14 mm
r = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1801528014x정모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 30 MPa, 압축 120 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 280 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σy​ = 100τxy​ = −20MPa

한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 50° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 0 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −10σy​ = 40τxy​ = 60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = −10 MPaσy = 40 MPaτxy = 60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
P = 15 kNABδ1.5 m2.5 m

단순보의 지점 A에서 a = 1.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 15 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 20 kN/mδL = 1.5 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 3 md = 25 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 6 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 2.611 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 70·1000/201.1 = 348.2 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 348.2/200000 = 0.001741 = 1741 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.001741·1500 mm = 2.611 mm

답

δ = 2.611 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 298.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 47.75 MPa
σ2 = 298.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 298.4 MPa

답

σmax = 298.4 MPa
3.축의 비틀림

답: do = 32.94 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·75·0.7599)) = 32.94 mm
di = 0.7·32.94 = 23.06 mm

답

do = 32.94 mm

속이 찬 축이라면 d = 30.06 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: TA = 42.86 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1.5/3.5 = 42.86 N·m
TB = 100·2/3.5 = 57.14 N·m

답

TA = 42.86 N·m
5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 5 kN, R2 = 15 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 10, MC = 20, MD = 30, ME = 40 kN·m, MF = 30, MG = 0

답

표시점 E: ME = 40 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 41.5 kN, R2 = 96.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 71, MC = 18, MD = −59, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

답

표시점 E: ME = −160 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 128.8 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

b = 192 mm, h = 322 mm
A = BH − bh = 220·350 − 192·322 = 15176 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.519 × 10⁸ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(2.519 × 10⁸/15176) = 128.8 mm

답

r = 128.8 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 9.06 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (2700·287.5 + 3920·140)/6620 = 200.2 mm
윗면 가장자리: c = 295 − 200.2 = 94.84 mm

단면 2차 모멘트

I = 180·15³/12 + 2700·87.34² + 14·280³/12 + 3920·60.16² = 6.045 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 120·6.045 × 10⁷/94.84 = 76.48 kN·m
아랫면 가장자리: M = 30·6.045 × 10⁷/200.2 = 9.06 kN·m

지배 값

Mallow = min = 9.06 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 9.06 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = 61.01 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 50 − (−50)·(−0.1736) − (−20)·0.9848 = 61.01 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 38.99 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy

답

σy′ = 61.01 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 23.35 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 15 + −25·0.866 + 60·0.5 = 23.35 MPa

답

σθ = 23.35 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 1.542 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 15000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 15000·1500²·2500²/(3·1.14 × 10¹³·4000) = 1.542 mm

답

δP = 1.542 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 28.76 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·1500⁴/(384·11000·4.167) = 2.876 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28.76 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 28.76 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 16.82 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16.82 kN

답

Pcr = 16.82 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 12.34 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7.5 = 400

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

답

σcr = 12.34 MPa

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