재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1450 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 6 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. A에서 지점 사이의 반곡점(휨 모멘트의 부호가 바뀌는 점)까지의 거리 x_c을(를) 구하시오.

L = 10.5 mw = 8 kN/m, 0부터 10.5 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점

x_c = m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

속이 빈 직사각형(상자형) 단면의 바깥 폭은 B = 220 mm, 바깥 높이는 H = 300 mm, 균일한 벽 두께는 t = 18 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

B = 220 mmH = 300 mmt = 18 mm

r = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 10 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.131 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·5890 = 6.872 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·600/6.872 × 10⁸ = 0.131 mm

답

δ = 0.131 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 472.5 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 193.5 MPa

σ₂ = 472.5 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 472.5 MPa

답

σ_max = 472.5 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 2.155 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(39000·613592) = 0.03761 rad

φ = 0.03761·180/π = 2.155°

답

φ = 2.155°

4.축의 비틀림

답: d = 34.74 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·80)) = 34.74 mm

답

d = 34.74 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 44.17 kN, R₂ = 35.83 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 78.33, M_C = 136.7, M_D = 175 kN·m, M_E = 133.3, M_F = 71.67, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 175 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: x_c = 7.219 m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·10.5 = 84 kN, 작용점 x̄ = 5.25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·10.5·5.25

R_B = 441/8 = 55.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 55.13 = 28.88 kN

모멘트 0

지점 사이에서 M(x) = R_A·x − w·x²/2. x = 0을 제외하면 x = 2R_A/w에서 0이 됩니다.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·28.88/8 = 7.219 m

답

x_c = 7.219 m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 110.5 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

b = 184 mm, h = 264 mm

A = BH − bh = 220·300 − 184·264 = 17424 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2.129 × 10⁸ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(2.129 × 10⁸/17424) = 110.5 mm

답

r = 110.5 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 78.89 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

웨브: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·227.5 + 1760·110)/6260 = 194.5 mm

평행축 정리

플랜지: 300·15³/12 + 4500·(227.5 − 194.5)² = 4.995 × 10⁶ mm⁴

웨브: 8·220³/12 + 1760·(110 − 194.5)² = 1.966 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.995 × 10⁶ + 1.966 × 10⁷ = 2.465 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 194.5 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·194.5/2.465 × 10⁷ = 78.89 MPa

답

σ_아래 = 78.89 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 58.28 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·30, −40 − −10) = 116.6°

요소에서의 각도

θ_p = 58.28°

답

θ_p = 58.28°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 75 MPa

변환 식

σ_θ = 35 + 35·0 + 40·1 = 75 MPa

답

σ_θ = 75 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 2.273 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 2.273 mm

답

δ = 2.273 mm

12.보의 처짐

답: R_B = 11.25 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11.25 kN

답

R_B = 11.25 kN

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 9.995 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3000² = 9995 N = 9.995 kN

답

P_cr = 9.995 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 49.35 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

답

σ_cr = 49.35 MPa

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