재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
50 kNØ20100 GPaØ100/70300 mmδ = ?

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동1.5 mØ 12 mm황동0.5 mP = 105 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 105 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
d = 20 mmT = 40 N·m200 mmφ = 0.75°

비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 40 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 0.75° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 40 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0.75°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1800 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
60 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 1 m15 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
6 kN/m15 kN30 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

15 kN @ 0 m30 kN @ 6 m45 kN @ 4 m6 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1603024010x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
3003018014x정모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 30 MPa, 압축 150 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 180 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 80σy​ = −60τxy​ = 60MPa

한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 80 MPaσy = −60 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 120σy​ = 0τxy​ = 20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 12 kN/mδL = 2 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mAB4 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 4 mw = 12 kN/m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m40 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 6 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.03237 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·4006 = 4.634 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·300/4.634 × 10⁸ = 0.03237 mm

답

δ = 0.03237 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 928.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 213.9 MPa
σ2 = 928.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 928.4 MPa

답

σmax = 928.4 MPa
3.축의 비틀림

답: G = 38.91 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0.75·π/180 = 0.01309 rad

전단 탄성 계수

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·200/(15708·0.01309) = 38907 MPa
G = 38.91 GPa

답

G = 38.91 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 25.66 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·80)) = 25.66 mm

답

d = 25.66 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: B (x = 1 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 55 kN, R2 = 20 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 55 kN·m, MC = 50, MD = 45, ME = 40, MF = 20, MG = 0

답

표시점 B: MB = 55 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 5 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 34.5 kN, R2 = 79.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −15, MC = 1.5, MD = 12, ME = 16.5, MF = −30 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −30 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 41.04 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
웨브: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·255 + 2400·120)/7200 = 210 mm

평행축 정리

플랜지: 160·30³/12 + 4800·(255 − 210)² = 1.008 × 10⁷ mm⁴
웨브: 10·240³/12 + 2400·(120 − 210)² = 3.096 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.008 × 10⁷ + 3.096 × 10⁷ = 4.104 × 10⁷ mm⁴ = 41.04 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 41.04 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 5.089 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (9000·195 + 2520·90)/11520 = 172 mm
윗면 가장자리: c = 210 − 172 = 37.97 mm

단면 2차 모멘트

I = 300·30³/12 + 9000·22.97² + 14·180³/12 + 2520·82.03² = 2.918 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 150·2.918 × 10⁷/37.97 = 115.3 kN·m
아랫면 가장자리: M = 30·2.918 × 10⁷/172 = 5.089 kN·m

지배 값

Mallow = min = 5.089 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 5.089 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: θs = −24.7 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = 60/92.2 = 0.6508, sin 2θs = −70/92.2 = −0.7593
2θs = atan2(−70, 60) = −49.4°

요소에서의 각도

θs = −24.7°
검산: θs − θp = −24.7 − 20.3 = −45°

답

θs = −24.7°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 80 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 60 + 60·0 + 20·1 = 80 MPa

답

σθ = 80 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 18.18 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 18.18 mm

답

δ = 18.18 mm
12.보의 처짐

답: MA = 24 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = wL²/2 − RB·L = 96 − 72 = 24 kN·m

답

MA = 24 kN·m
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 6.141 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/6000² = 6141 N = 6.141 kN

답

Pcr = 6.141 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 8.812 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/15 = 280

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

답

σcr = 8.812 MPa

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