재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 200 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 30 mm, 길이 1 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 1.5 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 1.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 전단력 V_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 5 kN/m, 0부터 5 m까지x = 0.5 m

V_x = kN

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 0 m60 kN @ 12 m60 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 140 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 120 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 10 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 140 mmh = 120 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 500 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 20°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 5 mmp = 1.5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 19 kNw = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 3.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 14 kNb = 3.5 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.07435 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·9346 = 1.076 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 200000·400/1.076 × 10⁹ = 0.07435 mm

답

δ = 0.07435 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 17.65 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·622035/747699 = 49916 N

응력

σ₂ = 49916/2827 = 17.65 MPa (압축)

답

σ₂ = 17.65 MPa

3.축의 비틀림

답: φ_C = 22.78 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·1000/(26000·79522) = 0.09673 rad

φ_BC = 200000·1500/(26000·38350) = 0.3009 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.09673 + 0.3009 = 0.3976 rad = 22.78°

답

φ_C = 22.78°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 40.53 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/235619 = 40.53 MPa

답

τ_max = 40.53 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: V_x = 10 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2.5

R_B = 62.5/5 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12.5 = 12.5 kN

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = R_A − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)

V_x = 12.5 − 5·0.5 = 10 kN

답

V_x = 10 kN

6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 72 kN, R₂ = 132 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −104, M_D = −104, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = −240 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 5.31 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

두 다리: A₂ = 2·10·110 = 2200 mm², y₂ = 10 + 110/2 = 65 mm

도심

ȳ = (1400·5 + 2200·65)/3600 = 41.67 mm

평행축 정리

기제: 140·10³/12 + 1400·(5 − 41.67)² = 1.894 × 10⁶ mm⁴

두 다리: 2·10·110³/12 + 2200·(65 − 41.67)² = 3.416 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.894 × 10⁶ + 3.416 × 10⁶

I_x = 5.31 × 10⁶ mm⁴ = 5.31 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 5.31 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 80.31 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

웨브: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·230 + 2640·110)/7040 = 185 mm

평행축 정리

플랜지: 220·20³/12 + 4400·(230 − 185)² = 9.057 × 10⁶ mm⁴

웨브: 12·220³/12 + 2640·(110 − 185)² = 2.55 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.057 × 10⁶ + 2.55 × 10⁷ = 3.455 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 185 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·185/3.455 × 10⁷ = 80.31 MPa

답

σ_아래 = 80.31 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −31.72 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 20/44.72 = 0.4472, sin 2θ_s = −40/44.72 = −0.8944

2θ_s = atan2(−40, 20) = −63.43°

요소에서의 각도

θ_s = −31.72°

검산: θ_s − θ_p = −31.72 − 13.28 = −45°

답

θ_s = −31.72°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 70.61 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1.5·250/5 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 37.5·sin²20° + 75·cos²20° = 70.61 MPa

답

σ_n = 70.61 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 28.61 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 19000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(3EI) = 19000·1500³/(3·9.24 × 10¹¹) = 23.13 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 5.479 mm

더하기

δ = 23.13 + 5.479 = 28.61 mm

답

δ = 28.61 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 13.06 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 14000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

최대 처짐

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 13.06 mm

답

δ_max = 13.06 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 25.63 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25.63 kN

답

P_cr = 25.63 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 9.715 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

답

σ_cr = 9.715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials